Fregean Flows: Graph Theoretic Representation of Classical Logic by Eric Easthope

Główne pojęcia

古典論理のグラフ理論的表現を紹介し、単純な帰納的文の証明可能性を示す。

Streszczenie

スタンドアロンノート

1. モチベーション

• Fregeによる視覚的Begriffsschrift（1879）は、一次公理的論理の基礎を確立し、数学的証明のための記号論理推論の基盤を確立した。
• 証明は一次元または最大で並列な形であるが、その理解は必ずしも線形ではない。
• 言語自体が単調で一対一の単語解析ではないため、言語が論理の次元性を制限するわけではない。

2. 概念

• 非線形証明表現における証明概念として、文間の順序付けは文間関係そのものであることが重要。
• 証明がオブジェクト名前空間を共有することや文間関係によって非線形配置が可能。

3. 結論

• Fregean flowsは古典論理のグラフ理論的表現であり、単純な帰納的文の証明可能性を示す。

Statystyki

A set of sentences {S} is provable if-and-only-if its graph representation G = (V, E) as vertices {V } and edges {E} contracts to a single vertex G0 = ({v0}, ∅}.
{S} is provable if-and-only-if G is homomorphic to G0, or equivalently provable if G is iteratively contractible to G0.

Cytaty

"If the task of philosophy is to break the domination of words over the human mind [...] then my concept notation, being developed for these purposes, can be a useful instrument for philosophers [....] I believe the cause of logic has been advanced already by the invention of this concept notation." — Gottlob Frege (preface to Begriffsschrift, 1879; English translation)

Kluczowe wnioski z

Fregean Flows

by Eric Easthop... o arxiv.org 03-18-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.09921.pdf

Głębsze pytania

哲学の任務が人間精神に対する言葉支配を打破することである場合、「概念表記」は哲学者にとって有用な道具になり得るか

Fregeは、「概念表記」が哲学者にとって有用な道具である可能性を示唆しています。彼の言葉から、哲学の任務が人間精神に対する言葉支配を打破することである場合、その目的を達成するために「概念表記」が貢献できる可能性があります。この新しいアプローチは、従来の言語中心の証明や推論方法に代わり、視覚的かつ幾何学的なアプローチを提供します。これにより、哲学者はより直感的かつ効果的な方法で問題を分析し理解することができるかもしれません。

この新しいグラフ理論的アプローチは、従来の原則を覆す試みではなく、数学表現を非線形かつ革新的に再構築することでどれだけ互換性があるか

この新しいグラフ理論的アプローチは、従来の原則を覆す試みではなく、数学表現を非線形かつ革新的に再構築しつつも互換性があります。古典論理や数学の基本原則への挑戦ではなく、むしろそれらを補完・拡張する手法として位置付けられています。例えば、「AND」という連結子（conjunction）や「IF-THEN」という条件文（implication）など伝統的な要素は引き続き使用されており、単純化された形式だけでなく非線形グラフ表現でも同等に扱うことが可能です。

言語自体が次元性を制限しない場合、どうして証明や推論において次元性制約が生じる可能性があるか

言語自体は通常一次元以上多次元へ変換される際制限されません。しかし証明や推論時に次元性制約が生じる主要因は、「テキスト」または「文章」として情報伝達される際の一貫した流れ方向です。「Russell's paradox」など特定文句内部含むパラドックス文句でも読解可能です。「Fregean flows」ではこれらパーソナルコンピューター上表示させた文字列以外別途図式化処置行う事象発生します。