多尺度有限元法与隐显式方案结合求解非平稳Stokes-Darcy模型

Główne pojęcia

本文提出了一种基于多尺度有限元法和隐显式方案的算法,用于求解具有多尺度特性的非平稳Stokes-Darcy模型。该算法首先在Darcy区域并行计算多尺度基函数,然后基于这些多尺度基函数采用隐显式方案求解Stokes-Darcy方程。该算法可以在相对较粗的网格上求解问题,大幅降低了计算成本,同时相比于标准有限元方法在相同网格尺度下具有更高的精度。

Streszczenie

本文研究了具有多尺度特性的非平稳Stokes-Darcy模型的数值求解方法。主要内容如下:

1. 引入了Stokes-Darcy耦合模型,其中Darcy区域的渗透系数呈现多尺度特性。

2. 提出了一种基于多尺度有限元法和隐显式方案的算法(MsFEM-ImEx)来求解该模型。该算法分两步进行:

   • 首先在Darcy区域并行计算多尺度基函数。
   • 然后基于这些多尺度基函数,采用隐显式方案求解Stokes-Darcy方程。

3. 该算法可以在相对较粗的网格上求解问题,大幅降低了计算成本,同时相比于标准有限元方法在相同网格尺度下具有更高的精度。

4. 在假设渗透系数是周期性函数且与时间无关的条件下,证明了该算法的稳定性和收敛性。

5. 通过三个数值实验验证了该算法的合理性和有效性,数值结果与理论分析一致。

Statystyki

∥uN
h ∥2
0 + ∥ϕN
h ∥2
0 +
N−1
X
n=0
(∥un+1
h
− un
h∥2
0 + ∥ϕn+1
h
− ϕn
h∥2
0) + C1ν∆t
2
∥uN
h ∥2
1 + λmin∆t
2S0
∥ϕN
h ∥2
1
≤ C(T)( C2
p
3C1ν ∆t
N−1
X
n=0
∥fn+1
f
∥2
0 +
‹
C2
p
S0λmin
∆t
N−1
X
n=0
∥f n+1
p
∥2
0

∥u0∥2
0 + ∥ϕ0∥2
0 + C1ν∆t
2
∥u0∥2
1 + λmin∆t
2S0
∥ϕ0∥2

Cytaty

无

Kluczowe wnioski z

Finite element method coupled with multiscale finite element method for the non-stationary Stokes-Darcy model

by Yachen Hong,... o arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.11600.pdf

Głębsze pytania

如何将本文的方法推广到更一般的多尺度问题中

本文的方法可以推广到更一般的多尺度问题中。通过将多尺度有限元方法应用于解决非定常Stokes-Darcy模型中Darcy区域的多尺度特征，我们可以将类似的方法扩展到其他多尺度问题中。关键在于构建局部基函数以捕获微观尺度信息，并在宏观尺度上实现解的准确性。这种方法的核心是将微观尺度信息嵌入到基函数中，从而在粗网格上获得准确的解。

如何在本文的框架下引入更复杂的界面条件,如考虑界面的不确定性

在本文的框架下引入更复杂的界面条件，如考虑界面的不确定性，可以通过将不确定性建模为随机变量，并将随机变量的影响考虑在内。这可以通过引入概率论和统计学的概念来处理。例如，可以使用随机有限元方法来处理界面条件的不确定性，通过考虑不同的界面条件的概率分布来评估解的稳定性和可靠性。

本文的方法是否可以应用于其他类型的耦合问题,如Stokes-Biot模型

本文的方法可以应用于其他类型的耦合问题，如Stokes-Biot模型。通过类似的思路，可以将多尺度有限元方法应用于解决其他耦合问题，其中不同物理过程相互影响。例如，对于Stokes-Biot模型，可以将多尺度有限元方法应用于描述流体和岩石介质之间的相互作用。这种方法可以帮助提高模型的计算效率和准确性，特别是在处理具有多尺度特征的问题时。