주식 옵션 가격 결정 모형인 Black-Scholes 방정식과 Merton-Garman 방정식의 국소적 동등성에 대하여

Główne pojęcia

주식 옵션 가격 결정 모형인 Black-Scholes 방정식과 Merton-Garman 방정식은 국소적으로 동등하다. 이는 주식 가격 변화에 대한 국소 대칭성을 요구하면 변동성이 게이지 장으로 도입되어 Merton-Garman 방정식이 도출된다는 것을 의미한다.

Streszczenie

이 논문에서는 주식 옵션 가격 결정 모형인 Black-Scholes(BS) 방정식과 Merton-Garman(MG) 방정식의 국소적 동등성을 분석한다.

먼저 BS 방정식의 표준 형태와 Hamilton 형태를 소개한다. BS 방정식에서 변동성은 자유 매개변수로 취급되며, 투자자들은 이 변동성을 추정하여 옵션 매입 여부를 결정한다.

다음으로 MG 방정식의 표준 형태와 Hamilton 형태를 소개한다. MG 방정식은 변동성을 확률 변수로 취급하여 BS 방정식을 확장한 것이다.

이어서 BS Hamilton 연산자의 대칭성 분석을 통해 변동성이 게이지 장으로 도입되어 MG 방정식이 도출됨을 보인다. 이를 통해 BS 방정식과 MG 방정식이 국소적으로 동등함을 확인한다.

더 나아가 게이지 Hamilton 연산자를 도입하여 MG 방정식보다 더 일반적인 형태를 제시한다. 이 게이지 Hamilton 연산자에서도 BS 방정식이 국소적으로 회복됨을 보인다.

마지막으로 게이지 원리를 이용하여 주식 가격과 변동성 간의 함수적 관계를 도출하고, 이를 통해 변동성 추정 개선 방안을 제시한다.

Statystyki

주식 가격 S(t)의 동역학은 다음과 같이 주어진다:
dS(t)/dt = φS(t) + σS(t)R(t)
여기서 φ는 주식 수익률, R(t)는 평균 0의 가우시안 백색 잡음, σ는 변동성이다.
옵션 포트폴리오 Π는 다음과 같이 정의된다:
Π = C - ∂C/∂S S
이 포트폴리오의 무위험 조건 dΠ/dt = rΠ로부터 BS 방정식이 도출된다.
MG 방정식은 다음과 같이 주어진다:
dS/dt = φS dt + S√V R1
dV/dt = λ + μV + ζV^α R2
여기서 V = σ^2는 변동성이며, R1, R2는 상관관계를 가진 가우시안 잡음이다.

Cytaty

"주식 가격 변화에 대한 국소 대칭성을 요구하면 변동성이 게이지 장으로 도입되어 Merton-Garman 방정식이 도출된다."

Kluczowe wnioski z

On the Local equivalence of the Black Scholes and the Merton Garman equations

by Ivan Arraut o arxiv.org 10-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.00925.pdf

Głębsze pytania

주식 옵션 가격 결정 모형에 대한 게이지 이론의 적용은 어떤 다른 금융 문제에도 확장될 수 있을까?

게이지 이론은 주식 옵션 가격 결정 모형에 적용된 것 외에도 다양한 금융 문제에 확장될 수 있는 잠재력을 가지고 있다. 예를 들어, 파생상품의 가격 결정, 리스크 관리, 그리고 포트폴리오 최적화와 같은 분야에서 게이지 이론의 원리를 활용할 수 있다. 특히, 변동성이 불확실한 환경에서의 자산 가격 예측에 있어 게이지 이론은 유용한 도구가 될 수 있다. 게이지 이론을 통해 도출된 비선형 동역학 모델은 금융 시장의 복잡한 상호작용을 설명하는 데 기여할 수 있으며, 이는 시장의 비효율성을 이해하고 개선하는 데 도움을 줄 수 있다. 또한, 게이지 이론의 개념은 금융 시장의 비정상적 현상이나 극단적 사건을 분석하는 데도 적용될 수 있어, 금융 시스템의 안정성을 높이는 데 기여할 수 있다.

게이지 이론을 통해 도출된 주식 가격과 변동성의 함수적 관계가 실제 금융 시장에서 어떻게 활용될 수 있을까?

게이지 이론을 통해 도출된 주식 가격과 변동성 간의 함수적 관계는 실제 금융 시장에서 여러 가지 방식으로 활용될 수 있다. 첫째, 이 관계는 변동성 예측 모델을 개선하는 데 기여할 수 있다. 투자자들은 주식 가격의 변화가 변동성에 미치는 영향을 이해함으로써, 더 정확한 변동성 추정치를 도출할 수 있다. 둘째, 이러한 관계는 헷지 전략을 수립하는 데 중요한 역할을 할 수 있다. 예를 들어, 변동성이 증가할 것으로 예상되는 경우, 투자자들은 옵션을 활용하여 리스크를 관리할 수 있다. 셋째, 주식 가격과 변동성 간의 상관관계를 분석함으로써, 투자자들은 시장의 전반적인 심리를 파악하고, 이를 바탕으로 투자 결정을 내릴 수 있다. 이러한 활용은 투자자들이 더 나은 의사결정을 내리는 데 기여하며, 궁극적으로 시장의 효율성을 높이는 데 기여할 수 있다.

게이지 이론의 관점에서 볼 때, 금융 시장의 정보 보존 문제는 어떻게 해석될 수 있을까?

게이지 이론의 관점에서 금융 시장의 정보 보존 문제는 주식 가격과 변동성 간의 상호작용을 통해 해석될 수 있다. 정보 보존은 시장의 효율성을 유지하는 데 필수적인 요소로, 이는 투자자들이 시장에서의 정보에 기반하여 합리적인 결정을 내릴 수 있도록 한다. 게이지 이론에 따르면, 변동성은 주식 가격의 변화에 대한 반응으로 작용하며, 이는 정보의 흐름과 관련이 있다. 즉, 변동성이 높아질수록 시장의 정보가 더 많이 반영되며, 이는 가격의 변동성을 증가시킨다. 따라서, 정보 보존 문제는 변동성을 조절하는 게이지 필드의 역할을 통해 해결될 수 있다. 이러한 관점은 금융 시장에서의 비효율성을 줄이고, 정보가 시장 가격에 적절히 반영되도록 하는 데 기여할 수 있다. 결국, 게이지 이론은 금융 시장의 정보 보존 문제를 이해하고 해결하는 데 중요한 이론적 틀을 제공한다.