다중 지연 SDE의 절단 EM 스킴과 불규칙 계수에 대한 적용 및 확률 변동성 모델

Główne pojęcia

본 논문은 부분적으로 홀더 연속 드리프트와 국소적으로 홀더 연속 확산 계수를 가진 다중 지연 확률 미분 방정식에 대한 수치 해법을 다룹니다. 절단 오일러-마루야마 스킴을 사용하여 계수의 초선형 항을 처리하며, 주어진 조건 하에서 시간 T에서의 L1 및 L2 수렴률을 보여줍니다. 또한 유한 시간 구간 [0, T]에서의 수렴률도 얻습니다.

Streszczenie

본 논문은 다중 지연 확률 미분 방정식(MDSDE)의 수치 해법을 다룹니다.

1. 서론:

• 확률 미분 방정식(SDE)은 다양한 분야에 적용되어 왔으며, 명시적으로 해결할 수 없는 SDE에 대해 오일러-마루야마(EM) 스킴이 널리 연구되어 왔습니다.
• 그러나 초선형 성장 조건 하에서 고전적인 EM 근사는 유한 시간 내에 p차 모멘트가 발산할 수 있습니다.
• 이에 따라 초선형 계수를 가진 SDE를 근사하기 위해 다양한 수정된 EM 스킴이 제안되었습니다.
• 특히 Cox-Ingersoll-Ross(CIR) 모델은 홀더 연속 확산 계수를 가지며, 이에 대한 수치 스킴 연구가 진행되어 왔습니다.
• 본 논문은 불규칙 계수를 가진 일반적인 MDSDE의 수치 스킴을 다룹니다.

2. 예비 사항:

• 필요한 기호와 가정들을 소개합니다.
• MDSDE의 해가 유일하게 존재하며, 특정 조건 하에서 유계임을 보입니다.
• Yamada-Watanabe 근사 기법을 소개합니다.

3. 수치 스킴:

• 절단 EM 스킴(TEMS)을 MDSDE에 적용하여 정의합니다.
• TEMS 해의 유계성을 보입니다.

4. 시간 T에서의 수렴률:

• 주어진 조건 하에서 TEMS의 L1 및 L2 수렴률을 시간 T에서 보여줍니다.

5. 유한 시간 구간에서의 수렴률:

• 유한 시간 구간 [0, T]에서의 TEMS의 L1 및 L2 수렴률을 보여줍니다.

6. 수치 실험:

• 확률 변동성 모델에 TEMS를 적용하여 이론적 결과의 신뢰성을 검증합니다.
• 지연 변수의 개수가 수렴률에 영향을 미치지 않음을 확인합니다.

Statystyki

확률 변동성 모델에서 z(t)의 동적 방정식은 다음과 같습니다:
dz(t) = (a1z(t)|z(t)| + a2z^3(t) + a3z(t) + a4z(t-τ1) + a5z(t-τ2) + a6z(t)|z(t)|^(1/2))dt + a7|z(t)|^(3/2)dB(t)

Cytaty

"본 논문은 부분적으로 홀더 연속 드리프트와 국소적으로 홀더 연속 확산 계수를 가진 다중 지연 확률 미분 방정식에 대한 수치 해법을 다룹니다."
"절단 오일러-마루야마 스킴을 사용하여 계수의 초선형 항을 처리하며, 주어진 조건 하에서 시간 T에서의 L1 및 L2 수렴률을 보여줍니다."
"또한 유한 시간 구간 [0, T]에서의 수렴률도 얻습니다."

Kluczowe wnioski z

The truncated EM scheme for multiple-delay SDEs with irregular coefficients and application to stochastic volatility model

by Zhuoqi Liu,Z... o arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.11178.pdf

Głębsze pytania

확률 변동성 모델 외에 TEMS가 적용될 수 있는 다른 금융 모델은 무엇이 있을까?

TEMS는 다양한 금융 모델에 적용될 수 있으며, 그 중 일부는 다음과 같습니다:

블랙-숄즈 모형: 옵션 가격 결정에 사용되는 블랙-숄즈 모형은 TEMS를 통해 수치적으로 근사할 수 있습니다. 이를 통해 옵션 프리미엄이나 가치를 추정하는 데 활용될 수 있습니다.
이자율 모형: 이자율 변동을 모델링하는데 사용되는 모형에서도 TEMS가 적용될 수 있습니다. 이를 통해 이자율의 예측이나 이자율 파생상품의 가치 평가에 활용될 수 있습니다.
평가 모형: 자산이나 포트폴리오의 가치 평가에 사용되는 다양한 모형에서도 TEMS를 적용할 수 있습니다. 이를 통해 자산의 미래 가치나 수익률을 예측하고 포트폴리오의 최적화를 수행할 수 있습니다.

TEMS의 수렴률 결과가 다른 수정된 EM 스킴과 어떻게 비교되는지 궁금합니다. MDSDE의 해가 가지는 경제학적 의미나 해석은 무엇일까요

TEMS의 수렴률 결과는 다른 수정된 EM 스킴과 비교할 때 특정 장단점을 가지고 있습니다. TEMS는 일반적으로 계산 효율성이 뛰어나며, 수렴 속도가 빠를 수 있습니다. 또한, TEMS는 특정 조건 하에서 안정적인 결과를 제공할 수 있어 신뢰성이 높을 수 있습니다. 그러나 TEMS 역시 특정 조건에서는 수렴률이 다소 느릴 수 있고, 정확도에 영향을 줄 수 있습니다. 수정된 EM 스킴은 이러한 한계를 극복하기 위해 다양한 방법을 제시하며, 문제에 따라 적합한 방법을 선택할 필요가 있습니다.

MDSDE의 해는 경제학적으로 중요한 의미를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 금융 모델에서 MDSDE를 사용하면 여러 변수 간의 시간 지연이 고려되어 시장의 복잡성을 더 잘 모델링할 수 있습니다. 이를 통해 금융 시장의 불안정성이나 변동성을 더 정확하게 예측하고 이해할 수 있습니다. 또한, MDSDE의 해석은 특정 시장 조건이나 변수 간의 관계를 파악하는 데 도움을 줄 수 있으며, 이를 통해 투자 전략의 개발이나 위험 관리에 활용될 수 있습니다.