두 자산 Kou 점프-확산 모델 하에서 미국식 옵션 및 그리스 값을 구하기 위한 효율적인 수치적 방법

Główne pojęcia

본 논문에서는 두 자산 Kou 점프-확산 모델 하에서 미국식 옵션의 가치와 그리스 값을 구하기 위해 효율적인 수치적 방법을 제시합니다.

Streszczenie

개요

본 논문은 두 자산 Kou 점프-확산 모델 하에서 미국식 옵션의 가치와 그리스 값(델타, 감마)을 효율적으로 계산하는 수치적 방법을 제시합니다. 이 방법은 시간 의존적인 2차원 편미분 적분 상보성 문제(PIDCP)를 수치적으로 풀이하는 방식으로, 공간 이산화에는 2차 중앙 유한 차분법을, 시간 이산화에는 2차 대각 암시적 룽게-쿠타(DIRK) 방법을 사용합니다. 특히, 비국소적 이중 적분 항을 효율적으로 계산하기 위해 Toivanen (200x)의 고속 알고리즘을 2차원으로 확장하여 적용하였습니다.

주요 내용

1. 모델: 두 자산 Kou 점프-확산 모델을 사용하여, 두 기초 자산의 가격 변동을 모형화합니다. 이 모델은 자산 가격의 점프가 동시에 발생하고, 상대적 점프 크기가 로그 이중 지수 분포를 따른다고 가정합니다.
2. 공간 이산화: 먼저, 2차원 공간 영역을 잘린 영역으로 제한하고, 부드러운 직교 격자를 사용하여 이산화합니다. 공간 미분 항은 2차 중앙 유한 차분법을 사용하여 근사하고, 이중 적분 항은 Toivanen의 고속 알고리즘을 2차원으로 확장하여 효율적으로 계산합니다.
3. 시간 이산화: 공간 이산화 결과 얻은 대규모 준이산 PIDCP 시스템을 시간에 따라 이산화하기 위해, Cash (19xx)가 제안한 2차 DIRK 방법을 사용합니다. 이 방법은 자유 매개변수 θ를 포함하며, 적절한 θ 값을 선택하면 강한 감쇠 특성(L-안정성)을 얻을 수 있습니다. 본 논문에서는 θ = 1 - √2 / 2, 1/3, 1, 1 + √2 / 2 네 가지 경우를 고려하여 실험을 진행했습니다.
4. 수치 실험: 미국식 풋-온-더-에버리지 옵션을 예시로, 제안된 수치적 방법의 성능을 평가합니다. 실험 결과, 네 가지 DIRK-P 방법 모두 옵션 가치와 그리스 값(델타, 감마)에 대해 2차 시간 수렴성을 보이는 것으로 나타났습니다. 특히, θ = 1 - √2 / 2는 L-안정성과 상대적으로 작은 오차 상수를 가지므로 가장 효율적인 선택으로 판단됩니다. θ = 1/3의 경우 후방 오일러 감쇠를 사용하면 좋은 대안이 될 수 있습니다.

결론

본 논문에서 제시된 수치적 방법은 두 자산 Kou 점프-확산 모델 하에서 미국식 옵션의 가치와 그리스 값을 정확하고 효율적으로 계산하는 데 유용합니다. 향후 연구에서는 무한 활동 지수 레비 프로세스 하에서의 옵션 가격 결정 문제를 다룰 예정입니다.

Statystyki

σ1 = 0.30
σ2 = 0.40
r = 0.01
ρ = 0.50
λ = 0.50
p1 = 0.40
p2 = 0.60
ηp1 = 1/0.20
ηq1 = 1/0.15
ηp2 = 1/0.18
ηq2 = 1/0.14
K = 100
T = 0.5

Cytaty

Kluczowe wnioski z

An efficient numerical method for American options and their Greeks under the two-asset Kou jump-diffusion model

by Karel J. in ... o arxiv.org 10-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.10444.pdf

Głębsze pytania

이 방법을 다른 종류의 옵션(예: 아시아 옵션, 장벽 옵션)에 적용할 경우 어떤 결과를 얻을 수 있을까요?

이 논문에서 제시된 Kou 점프-확산 모델 하에서 미국식 옵션 가격 결정 및 Greeks 계산을 위한 효율적인 수치적 방법은 다른 종류의 옵션에도 적용 가능성이 있습니다. 하지만 옵션의 종류에 따라 몇 가지 조정이 필요할 수 있습니다.

아시아 옵션: 아시아 옵션은 만기 시점의 기초 자산 가격이 아닌 특정 기간 동안의 평균 가격을 기반으로 합니다. 이 경우, 현재 논문에서 사용된 2차원 PIDCP (Partial Integro-Differential Complementarity Problem)를 고차원 PIDCP로 확장해야 합니다. 즉, 평균 가격을 나타내는 추가적인 상태 변수가 필요하며, 이는 수치적 방법의 복잡성을 증가시킵니다. 하지만 **MOL (Method of Lines)**과 DIRK (Diagonally Implicit Runge-Kutta) 방법론은 여전히 유효하게 적용될 수 있습니다. 특히, Toivanen 알고리즘을 사용한 적분항 처리는 아시아 옵션에도 효율적으로 적용될 수 있습니다.

장벽 옵션: 장벽 옵션은 기초 자산 가격이 미리 정해진 장벽에 도달하는지 여부에 따라 payoff이 결정됩니다. 이 경우, 유한 차분법을 사용할 때 장벽 조건을 정확하게 처리하는 것이 중요합니다. 적분항 처리에는 큰 어려움이 없을 것으로 예상됩니다. 하지만 조기 행사 조건과 장벽 조건을 동시에 처리하기 위해서는 추가적인 연구가 필요할 수 있습니다.
결론적으로, 이 논문에서 제시된 방법은 아시아 옵션이나 장벽 옵션과 같은 다른 종류의 옵션에도 적용 가능성이 있지만, 옵션의 특성에 따라 추가적인 연구 및 수정이 필요할 수 있습니다.

이 논문에서는 점프가 동시에 발생한다고 가정했는데, 점프 발생 시간을 서로 독립적으로 모형화하면 어떤 영향을 미칠까요?

이 논문에서는 두 기초 자산의 점프가 동시에 발생한다고 가정했습니다. 이는 상관관계를 가진 두 자산의 급격한 동시 변동을 모형링하는 데 유용할 수 있습니다. 하지만 실제 금융 시장에서는 두 자산의 점프가 항상 동시에 발생하지는 않을 수 있습니다.
점프 발생 시간을 서로 독립적으로 모형링하면, 즉 점프 발생 시간의 상관관계를 제거하면 다음과 같은 영향을 미칠 수 있습니다.

모델의 복잡성 증가: 점프 발생 시간을 독립적으로 모형링하기 위해서는 2차원 Poisson 과정을 사용해야 합니다. 이는 기존 모델에서 사용된 단일 Poisson 과정에 비해 수치적 계산의 복잡성을 크게 증가시킵니다.

옵션 가격 변화: 점프 발생 시간의 상관관계 제거는 옵션 가격에 영향을 미칠 수 있습니다. 특히, 두 자산의 가격이 반대 방향으로 점프할 가능성이 높아지므로, 옵션 가격의 변동성이 증가할 수 있습니다.

Greeks 계산의 어려움: 점프 발생 시간의 독립적인 모형링은 Greeks (옵션 가격 민감도) 계산을 더욱 어렵게 만듭니다. 특히, 수치적 미분을 사용하는 경우, 계산의 정확도가 떨어질 수 있습니다.
결론적으로, 점프 발생 시간을 서로 독립적으로 모형화하면 모델의 현실성을 높일 수 있지만, 동시에 수치적 방법의 복잡성을 증가시키고 옵션 가격 및 Greeks 계산에 영향을 미칠 수 있습니다. 따라서 실제 적용에서는 모델의 복잡성과 현실성 사이의 균형을 고려하여 적절한 방법을 선택해야 합니다.

양자 컴퓨팅 기술의 발전이 옵션 가격 결정 문제에 어떤 영향을 미칠 수 있을까요?

양자 컴퓨팅 기술의 발전은 옵션 가격 결정 문제에 혁신적인 변화를 가져올 가능성이 있습니다. 특히, 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 기존 방법의 속도 및 효율성을 크게 향상시킬 수 있습니다.

빠른 시뮬레이션: 양자 컴퓨터는 중첩 및 얽힘과 같은 양자 현상을 이용하여 특정 유형의 계산을 기존 컴퓨터보다 훨씬 빠르게 수행할 수 있습니다. 이는 옵션 가격 결정에 사용되는 몬테카를로 시뮬레이션의 속도를 기하급수적으로 향상시킬 수 있습니다.

고차원 문제 해결: 양자 컴퓨터는 고차원 문제를 효율적으로 처리할 수 있습니다. 이는 다자산 옵션이나 복잡한 파생 상품의 가격을 결정하는 데 매우 유용합니다. 기존 방법으로는 계산 시간이 너무 오래 걸려 현실적으로 불가능했던 문제들을 양자 컴퓨팅을 통해 해결할 수 있게 될 것입니다.

새로운 알고리즘 개발: 양자 컴퓨팅 기술의 발전은 옵션 가격 결정을 위한 새로운 알고리즘 개발을 촉진할 수 있습니다. 예를 들어, 양자 푸리에 변환과 같은 양자 알고리즘은 옵션 가격 결정 모델에 사용되는 편미분 방정식을 푸는 데 효율적으로 활용될 수 있습니다.
하지만 양자 컴퓨팅 기술은 아직 초기 단계이며, 옵션 가격 결정 문제에 광범위하게 적용되기까지는 시간이 걸릴 것으로 예상됩니다. 또한, 양자 컴퓨터의 높은 비용과 제한적인 가용성은 극복해야 할 과제입니다.
결론적으로, 양자 컴퓨팅 기술은 옵션 가격 결정 문제에 혁신적인 변화를 가져올 잠재력이 있습니다. 하지만 아직 극복해야 할 과제들이 남아 있으며, 실제 적용 가능성을 높이기 위한 지속적인 연구 및 개발이 필요합니다.