Główne pojęcia
標数$p$のネーター環に対して、微分単純環であることと、ある体$k$上の多項式環$k[x_1,...,x_n]$の剰余環$k[x_1,...,x_n]/\langle x_1^p,...,x_n^p \rangle$であることが同値であるというHarper-Yuanの定理を解説し、さらに、$p$基底をもつ環拡大、特に次数1のGalois拡大について論じている。
この記事は、可換環論、特に標数$p$の環における微分単純環と$p$基底で定義される環拡大について解説しています。
微分単純環
最初に、微分単純環の概念を復習し、標数$p$のネーター環に対して、微分単純環であることと、ある体$k$上の多項式環$k[x_1,...,x_n]$の剰余環$k[x_1,...,x_n]/\langle x_1^p,...,x_n^p \rangle$であることが同値であるというHarper-Yuanの定理(定理2.4)を紹介しています。この定理の証明は、論文[10]、[19]、[14]、[3]で与えられていますが、この記事では、より概念的な新しい証明方法を提示しています。
$p$基底を持つ環拡大
次に、$p$基底を持つ環拡大、特に次数1のGalois拡大について考察しています。次数1のGalois拡大とは、環の有限平坦拡大$A \subset C$で、局所的に$p$基底を持つものを指します。このような拡大に対して、Yuanスキームと呼ばれる$A$スキームを導入し、これがGalois部分拡大のGrassmann多様体と考えることができることを示しています。さらに、Yuanスキームが滑らかであることを証明し、ファイバーの次元を計算しています。
論文の構成
論文は以下のように構成されています。
第2章: 標数$p$の微分単純環
微分単純環の定義と基本的な性質
ネーター環の場合の微分単純環の特徴付け(Harper-Yuanの定理)
微分単純環の剰余環が再び微分単純環になるための条件
ネーター環の平坦局所準同型写像のファイバーに関する定理
第3章: 次数1のGalois拡大
$p$基底の定義と基本的な性質
次数1のGalois拡大の定義
Galois拡大の特徴付け
Galois拡大の中間環の特徴付け
第4章: Yuanスキーム
Yuan関手の定義
Yuanスキームの構成
Yuanスキームの滑らかさとファイバーの次元
論文の意義
この記事は、可換環論における微分単純環と$p$基底を持つ環拡大の理論を理解する上で重要な役割を果たすと考えられます。特に、Yuanスキームの導入は、Galois拡大の構造をより深く理解するための新しい視点を提供するものとして注目されます。