Conceitos essenciais
Es gibt einen statistisch-berechnungstechnischen Unterschied von einem Faktor von r-1/(r-1) zwischen der maximalen Dichte der größten unabhängigen Menge und der Dichte, die von Algorithmen mit geringem Grad erreicht werden kann, sowohl in gewöhnlichen als auch in ausgewogenen zufälligen r-partiten Hypergraphen.
Resumo
Die Studie untersucht das algorithmische Problem, große unabhängige Mengen in dünn besetzten Erdős-Rényi-Zufallshypergraphen Hr(n, p) und ausgewogenen r-partiten Zufallshypergraphen H(r, n, p) zu finden.
Für Hr(n, p) zeigen die Autoren Folgendes:
- Es gibt einen Algorithmus mit geringem Grad, der mit hoher Wahrscheinlichkeit eine unabhängige Menge der Dichte (1-ε)/(r-1) * log(d)/d^(1/(r-1)) findet.
- Es gibt keinen Algorithmus mit geringem Grad, der mit hoher Wahrscheinlichkeit eine unabhängige Menge der Dichte (1+ε)/(r-1) * log(d)/d^(1/(r-1)) findet.
Für H(r, n, p) zeigen die Autoren Folgendes:
- Die größte ausgewogene unabhängige Menge hat mit hoher Wahrscheinlichkeit die Dichte (1±ε)r/(r-1) * log(d)/d^(1/(r-1)).
- Es gibt einen Algorithmus mit geringem Grad, der mit hoher Wahrscheinlichkeit eine ausgewogene unabhängige Menge der Dichte (1-ε)/(r-1) * log(d)/d^(1/(r-1)) findet.
- Es gibt keinen Algorithmus mit geringem Grad, der mit hoher Wahrscheinlichkeit eine ausgewogene unabhängige Menge der Dichte (1+ε)/(r-1) * log(d)/d^(1/(r-1)) findet.
Die Autoren vermuten, dass dieser statistisch-berechnungstechnische Unterschied auch für polynomielle Algorithmen gilt.
Estatísticas
Die erwartete Knotenanzahl eines Hypergraphen Hr(n, p) ist n.
Die erwartete Knotenanzahl eines r-partiten Hypergraphen H(r, n, p) ist rn.
Der durchschnittliche Knotengrad in Hr(n, p) und H(r, n, p) ist d.
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