Conceitos essenciais
Adaptive Finite-Elemente-Methoden mit iterativen Lösern können optimale Konvergenzraten in Bezug auf die Gesamtrechenkosten erreichen.
Resumo
Der Artikel gibt einen Überblick über den Stand der Forschung zu adaptiven Finite-Elemente-Methoden (AFEM) für die numerische Lösung von elliptischen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Der Schwerpunkt liegt auf dem optimalen Zusammenspiel von lokaler Netzverfeinerung und iterativer Lösung der resultierenden diskreten Systeme.
Zentrale Bestandteile sind:
- A-posteriori Fehlerschätzer zur Zuverlässigkeit der berechneten numerischen Approximationen
- Quasi-Fehler-Größen, die verschiedene Fehlerkomponenten (Diskretisierungs-, Linearisierungs- und algebraischen Fehler) ausbalancieren
- Vollständige R-lineare Konvergenz der Quasi-Fehler, die die optimale Komplexität der AFEM garantiert
- Erweiterungen auf zielgerichtete, nicht-symmetrische und nicht-lineare partielle Differentialgleichungen mit geeigneten geschachtelten iterativen Lösern
Die theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Experimente untermauert, die die praktische Relevanz und den Gewinn der Adaptivität mit iterativen Lösern für Simulationen mit optimaler Komplexität hervorheben.
Estatísticas
Die Diskretisierung erfolgt auf Basis einer konformen simplizischen Triangulierung des Rechengebiets.
Die Finite-Elemente-Räume bestehen aus global stetigen, stückweise Polynomen vom Grad p.
Der iterative Löser ist streng kontrahierend in der Energienorm mit Konvergenzfaktor 0 < q_alg < 1.
Citações
"Adaptivität induziert Zuverlässigkeit der berechneten numerischen Approximationen durch a-posteriori Fehlerkontrolle."
"Die Quasi-Fehler, die aus einem adaptiven Algorithmus mit kontrahierendem iterativen Löser resultieren, erfüllen ein Kernkonzept, nämlich die vollständige R-lineare Konvergenz."