バナッハ束上の亜表現定理とその応用

Основные понятия

本稿では、コンパクト群の亜表現に関する既存の結果を、連続的なハール測度系を許容する適切な亜群に拡張し、局所的な有限階数ヒルベルト束上の連続表現の存在を示し、古典的な淡中双対定理の亜群への一般化を証明する。

Аннотация

本稿は、コンパクト群の表現論における重要な定理であるPeter-Weylの定理と淡中双対定理を、亜群に対して一般化する試みについて論じている。

既存研究における課題

亜群に対してこれらの古典的な結果を一般化しようとすると、いくつかの困難に直面する。特に、有限次元連続表現の「行列要素」である表現関数が点を分離するのに十分かどうかという問題は、長年未解決のままであった。この問題は、大きく分けて以下の2つの問題に分けられる。

局所拡張問題

位相亜群Gの基点xが与えられたとき、xの安定化群の連続表現が、xの開近傍で定義されたGの局所表現に連続的に拡張されるのはどのような場合か？

局所大域問題

xの開近傍で連続的に作用するGの局所表現が与えられたとき、それは（場合によってはより小さい近傍で）G全体の連続表現の制限と一致するのはいつか？

本稿の貢献

本稿の主な貢献は、Gが適切な（局所コンパクトな位相的）亜群であるという仮定の下で、局所拡張問題に対する完全な（そして肯定的な）解決策を提供することである。この解決策は、20ページの定理9として述べられている、適切な亜群の等方性表現に対する局所拡張定理の形をとる。

本稿の2つ目の重要な貢献は、適切な亜群のバナッハ束上の擬表現に対する亜表現定理であり、これは9ページのセクション3の冒頭で定理4として述べられている。大まかに言えば、この亜表現定理は、（連続的なハール測度系を許容する）適切な亜群Gに対して、Gのバナッハ束上の任意の「亜表現」は、実際の表現に「近い」ことを示している。

セクション6では、局所拡張定理の応用として、一般的な（必ずしもリー群ではない）適切な亜群に対する淡中型再構成定理を定式化し、証明している。これは、28ページの定理18であり、本稿の3つ目の主要な貢献である。

証明におけるアイデア

亜表現定理の証明では、「再帰的平均化」という解析的手法を用いている。これは、コンパクト群に関するde la HarpeとKaroubiの古い結果を大幅に一般化したものであり、証明もより一般的で短くなっている。

まとめ

本稿は、適切な亜群の表現論における重要な進展であり、Peter-Weylの定理と淡中双対定理の亜群への一般化に大きく貢献するものである。

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Ключевые выводы из

Almost Representations of Groupoids on Banach Bundles

by Giorgio Tren... в arxiv.org 11-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2406.00728.pdf

Дополнительные вопросы

どのような具体的な亜群に対して適用可能か？

本稿の結果は、連続的なハール測度系を持つ固有亜群に対して適用可能です。
具体的には、以下のような亜群が挙げられます。

コンパクト亜群：これは最も基本的な例であり、本稿の結果は古典的なコンパクト群の表現論を自然に拡張したものと見なせます。
コンパクトな等方群を持つ局所コンパクト群束：これは、各点の等方群がコンパクトであるような位相亜群で、局所的には群の直積のような構造を持つものです。
固有なリー亜群：これは、微分可能な構造を持ち、かつアンカー写像が固有写像であるような亜群です。リー亜群は常に連続的なハール測度系を持つため、本稿の結果を適用することができます。
これらの例以外にも、本稿の結果は、位相的に非自明なコンパクト亜群や、非コンパクトな局所コンパクト群の固有な連続作用から生じる亜群など、様々な亜群に対して適用可能です。

亜表現定理の証明で用いられている再帰的平均化の手法は、他の問題にも応用可能か？

はい、再帰的平均化の手法は、本稿で扱われている問題以外にも、様々な問題に応用可能です。
例えば、以下のような問題が考えられます。

亜群の線形化問題: 与えられた亜群に対して、それと同値な線形亜群（つまり、ベクトル束の自己同型亜群）が存在するかどうかを判定する問題です。再帰的平均化は、与えられた亜群の「ほとんど線形構造」から、真の線形構造を構成するために利用できる可能性があります。
幾何学的量子化: 古典力学系から量子力学系を構成する際、再帰的平均化は、古典的な相空間上の関数を量子化して、ヒルベルト空間上の作用素を構成する際に有用となる可能性があります。
力学系の研究: 再帰的平均化は、摂動を受けた力学系の挙動を解析する際によく用いられる手法です。亜群が力学系の対称性を記述する際に自然に現れることを考えると、再帰的平均化は、亜群を用いた力学系の研究にも応用できる可能性があります。
これらの例はほんの一部であり、再帰的平均化は、亜群論やその周辺分野における様々な問題に対して、有効な解析ツールとなる可能性を秘めています。

本稿で得られた結果は、亜群の幾何学的理解にどのような影響を与えるか？

本稿で得られた結果は、特に位相亜群の幾何学的理解に新たな視点を提供するものです。
従来、亜群の幾何学的理解は、主にリー亜群のような微分可能な構造を持つ亜群を対象として発展してきました。しかし、本稿の結果は、微分可能な構造を持たない位相亜群に対しても、表現論を通じてその幾何学的構造を理解できる可能性を示唆しています。
具体的には、本稿で示された局所拡張定理は、亜群の等方表現が局所的にどのように振る舞うかを明らかにしたものであり、これは亜群の局所的な幾何学的構造を理解する上で重要な手がかりとなります。また、田中双対性定理の亜群への一般化は、亜群の表現と亜群自身の間の深い関係性を示しており、表現論を通じて亜群の大域的な幾何学的構造を理解できる可能性を示唆しています。
さらに、本稿では、バナッハ束上の亜群の表現が重要な役割を果たしています。バナッハ束は、局所的には自明とは限らないベクトル束であり、位相亜群の構造をより柔軟に捉えることができる枠組みを提供します。本稿の結果は、バナッハ束の理論と亜群の表現論を結びつけることで、位相亜群の幾何学を探求する新たな道を切り開いたと言えるでしょう。