高階連續幾何有效性

Основные понятия

我們提出了一種保守的算法,用於測試簡單元素(三角形、四面體)、張量積元素(四邊形、六面體)和混合元素(棱柱)在任意多項式階數下的幾何有效性,隨時間變化。

Аннотация

本文提出了一種通用的公式和算法,用於測試元素的連續有效性,支持最常見的類型,如三角形、四邊形、四面體、棱柱和六面體,並擴展到高階基函數和幾何映射。我們的算法在使用浮點運算時是可靠的,這意味著如果一個元素被檢測為有效,則在整個指定的時間間隔內都保證保持有效。這種健壯性對於算法的可靠性至關重要,以前的方法都沒有達到這種程度。

如果一個元素在任何時候變為無效,我們的算法會提供一個保守的無效時間估計,並引入一個自定義的積分規則,準確反映檢測到的無效。具體而言,這意味著當元素反轉時,數值積分會發散,這是常用自適應積分規則所沒有的性質。

我們的算法是為高性能而設計和實現的,因為它的用例是在需要大量數據集測試的優化循環中。在靜態檢查中,我們證明我們的測試在運行時間上與當前不精確的方法相當,只是稍慢一些,但卻能保證一個保守的答案。

我們發現,高階有限元模擬中經常包含無效元素,我們在PolyFEM中展示了一些例子。我們相信這種無效性的存在是由於使用不夠精確的積分來捕捉一些最變形元素內的無限彈性勢能所致。通過用我們的方法替換PolyFEM中的有效性檢查和積分,這些問題就消失了,對性能的影響也很小。

我們相信,我們的算法將成為現代參數化、網格生成和模擬算法中使用的健壯幾何構建模塊工具箱的重要補充。為了促進其採用,我們將發布一個開源的參考實現。

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Ключевые выводы из

High-Order Continuous Geometrical Validity

by Federico Sic... в arxiv.org 10-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2406.03756.pdf

Дополнительные вопросы

如何將本文的方法擴展到更複雜的幾何映射,如NURBS曲面?

要將本文的方法擴展到更複雜的幾何映射，如NURBS（非均勻有理B樣條）曲面，首先需要考慮NURBS的數學特性。NURBS曲面是由控制點、權重和B樣條基函數組成的，這使得它們能夠表示更複雜的幾何形狀。為了適應這些特性，可以在以下幾個方面進行擴展：

幾何映射的定義：需要重新定義幾何映射，以便能夠處理NURBS的控制點和權重。這意味著在計算雅可比行列式時，必須考慮到這些控制點的影響以及它們的權重。

多變量多項式的處理：NURBS曲面通常涉及多變量多項式，因此在計算雅可比行列式的過程中，必須能夠處理這些多變量多項式的導數和根的計算。這可能需要使用更高效的數值方法來確保計算的穩定性和準確性。

自適應細分技術：在NURBS曲面上進行自適應細分時，應根據曲面的幾何特性和變形情況來調整細分策略，以便更有效地捕捉到可能的幾何無效性。

數值穩定性：由於NURBS的計算涉及浮點運算，為了保持數值穩定性，可以考慮使用區間算術或有理數算術來避免浮點數的精度問題，這樣可以提高整體算法的健壯性。

通過這些擴展，本文的方法可以有效地應用於NURBS曲面，從而保證在高階有限元模擬中的幾何有效性。

本文的方法是否可以應用於其他需要保證幾何有效性的領域,如計算流體力學或結構力學?

是的，本文的方法可以應用於其他需要保證幾何有效性的領域，如計算流體力學（CFD）和結構力學。這些領域通常涉及複雜的幾何形狀和動態變形，對幾何有效性有著嚴格的要求。具體應用可以考慮以下幾個方面：

流體動力學中的幾何有效性：在CFD中，流體的運動和變形可能導致網格的扭曲或重疊，這會影響模擬的準確性。本文的方法可以用來檢查流體網格在模擬過程中的幾何有效性，確保流體元素不會自相交或變為無效。

結構力學中的動態模擬：在結構力學中，結構的變形可能導致元素的幾何無效性，特別是在高階有限元分析中。本文的方法能夠在整個模擬過程中持續檢查元素的有效性，從而避免因幾何無效性而導致的模擬崩潰。

多物理場耦合問題：在涉及多物理場的問題中，如熱-流體耦合或結構-流體耦合，幾何有效性同樣至關重要。本文的方法可以作為一個通用的幾何有效性檢查工具，適用於這些複雜的耦合模擬。

因此，本文的方法不僅限於高階有限元模擬，還可以廣泛應用於其他需要保證幾何有效性的計算領域。

除了保證幾何有效性之外,如何進一步提高高階有限元模擬的健壯性和準確性?

要進一步提高高階有限元模擬的健壯性和準確性，可以考慮以下幾個策略：

自適應網格細分：根據解的變化自適應地細分網格，可以在需要更高解析度的區域提供更多的計算資源，從而提高模擬的準確性。這種方法可以有效地捕捉到解的細節，特別是在存在尖銳邊界或不連續性時。

高階基函數的選擇：選擇合適的高階基函數（如Legendre或Chebyshev多項式）可以提高數值解的準確性。這些基函數在某些情況下能夠提供更好的收斂性和穩定性。

數值穩定性技術：使用區間算術或有理數算術來進行計算，可以減少浮點運算中的誤差，從而提高模擬的穩定性和準確性。此外，應用穩定的數值積分方法也能有效減少數值不穩定性。

物理模型的改進：在模擬中使用更精確的物理模型（如非線性材料模型或動態接觸模型）可以提高模擬的真實性，從而增強結果的可靠性。

多重尺度方法：在處理多尺度問題時，使用多重尺度方法可以有效地捕捉不同尺度下的物理現象，從而提高整體模擬的準確性。

通過這些策略的綜合應用，可以顯著提高高階有限元模擬的健壯性和準確性，從而使其在工程和科學計算中更具實用性。