重尾霍克斯過程的收斂性與粗糙波動率的微觀結構

Основные понятия

該文證明了具有重尾核的近似不穩定霍克斯過程的強度弱收斂性，並將其應用於推導以霍克斯過程為基礎的金融市場模型的尺度極限，其中價格波動率過程在適當的尺度調整後弱收斂於粗糙赫斯頓模型。

Аннотация

書目信息

Horst, U., Xu, W., & Zhang, R. (2024). Convergence of Heavy-Tailed Hawkes Processes and the Microstructure of Rough Volatility. arXiv preprint arXiv:2312.08784v2.

研究目標

本研究旨在建立具有重尾核的近似不穩定霍克斯過程的強度弱收斂性，並將其應用於推導以霍克斯過程為基礎的金融市場模型的尺度極限。

方法

作者們考慮了一個由霍克斯過程驅動的金融市場模型，其中買賣訂單的到達遵循具有冪律核的霍克斯過程。他們通過對模型參數進行適當的尺度調整，推導了價格波動率過程的弱收斂性。

主要發現

• 具有重尾核的近似不穩定霍克斯過程的強度弱收斂於一個分數擴散過程。
• 在適當的尺度調整後，價格波動率過程弱收斂於一個粗糙赫斯頓模型。
• 本研究結果比先前僅關注輕尾核或累積波動率過程收斂性的結果更為精確。

主要結論

該研究為一類粗糙波動率模型提供了強有力的微觀結構基礎。它表明，當訂單到達強度趨於無窮大、單個訂單對價格的影響趨於零且每個母訂單觸發的子訂單的平均數量趨於一時，價格波動率過程會收斂於一個粗糙赫斯頓模型。

意義

該研究為理解粗糙波動率模型的微觀結構起源提供了新的見解，並為使用這些模型模擬金融市場提供了理論依據。

局限性和未來研究方向

• 該研究假設價格變化是條件確定的，未考慮價格和波動率變化之間的相關性。
• 未來的研究可以放鬆這些假設，並探索更一般的市場微觀結構模型。

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Ключевые выводы из

Convergence of Heavy-Tailed Hawkes Processes and the Microstructure of Rough Volatility

by Ulrich Horst... в arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.08784.pdf

Дополнительные вопросы

如何將該研究結果推廣到更一般的點過程模型，例如具有時變強度的霍克斯過程或自修正點過程？

將研究結果推廣到更一般的點過程模型，例如具有時變強度的霍克斯過程或自修正點過程，會面臨以下挑戰：

時變強度： 論文中的模型假設霍克斯過程的基線強度為常數。對於時變強度，需要新的技術來處理強度的隨機性和依賴性。一種可能的方法是將時間軸分割成小的區間，並在每個區間內將強度近似為常數。然後，可以嘗試將論文中的結果應用於每個區間，並最後將它們“粘合”在一起。然而，這種方法可能會導致技術上的困難，並且需要仔細處理誤差項。
更一般的核函數： 論文中使用的冪律核函數具有很好的性質，例如規則變化性，這在證明中起著至關重要的作用。對於更一般的核函數，例如非單調或不具有規則變化性的核函數，可能需要開發新的技術來分析重尾霍克斯過程的收斂性。
自修正點過程： 自修正點過程的強度不僅取決於過去事件的時間，還取決於事件本身的標記。這為分析帶來了額外的複雜性。可能需要將標記空間離散化，並將每個標記視為一個單獨的點過程來處理。然後，可以嘗試將論文中的結果應用於每個點過程，並最後將它們組合起來。

總之，將研究結果推廣到更一般的點過程模型是一個重要的研究方向，但需要克服許多技術挑戰。需要新的數學工具和技術來處理時變強度、更一般的核函數和自修正點過程的額外複雜性。

價格和波動率變化之間的相關性如何影響尺度極限的結果？

在論文中，價格和波動率變化由兩個獨立的布朗運動驅動。如果引入價格和波動率變化之間的相關性，則會影響尺度極限的結果，主要體現在以下幾個方面：

極限過程的結構： 獨立驅動噪聲導致極限過程是一個由兩個獨立布朗運動驅動，價格過程由波動率過程決定的粗糙 Heston 模型。如果價格和波動率變化相關，則極限過程將是一個由相關布朗運動驅動，價格和波動率過程相互影響的更複雜的模型。
模型的解析 tractability： 獨立驅動噪聲簡化了模型的分析，例如，可以分別分析價格和波動率過程的收斂性。相關驅動噪聲會使模型的分析更加複雜，可能需要同時考慮價格和波動率過程的聯合動態。
模型的應用： 獨立驅動噪聲的模型可能無法捕捉到真實市場中價格和波動率變化之間的某些依賴關係。相關驅動噪聲的模型可以更準確地描述市場動態，但可能會犧牲一些解析 tractability。

論文中提到了引入相關性的一種方法是將價格和波動率變化關聯起來，並考慮一個由標記為價格和波動率變化的霍克斯隨機測度驅動的動態。這種方法會導致更複雜的模型分析，但不會引入新的數學挑戰。

該研究結果對金融市場的風險管理和衍生品定價有何影響？

該研究結果對金融市場的風險管理和衍生品定價具有以下影響：

風險管理：

更精確的波動率預測： 該研究提供了重尾霍克斯過程作為波動率微觀結構模型的理論依據，可以更準確地捕捉市場波動的聚集性和持續性，從而提高波動率預測的準確性。
更有效的風險度量： 基於粗糙 Heston 模型的風險度量，例如 VaR 和 Expected Shortfall，可以更準確地反映市場風險，特別是在極端市場條件下。

衍生品定價：

更精確的期權定價： 粗糙 Heston 模型可以更好地擬合 implied volatility smile，從而提高期權定價的準確性。
新的定價方法： 該研究為開發基於微觀結構的期權定價模型提供了新的思路，例如，可以利用霍克斯過程的性質來模擬市場訂單流，並基於此來定價期權。

然而，該研究結果也存在一些局限性：

模型的簡化假設： 模型中的一些假設，例如冪律核函數和恆定跳躍規模，可能過於簡化，無法完全反映真實市場的複雜性。
模型的校準： 粗糙 Heston 模型的校準比較困難，需要使用高頻數據和複雜的估計方法。
總的來說，該研究結果為金融市場的風險管理和衍生品定價提供了新的視角和工具，但也需要進一步的研究來克服其局限性。