圖的堆疊數與佇列數再探

Основные понятия

本文簡化了證明圖的堆疊數不受佇列數限制的過程，確認了佇列在圖形線性化處理中比堆疊更強大。

Аннотация

圖的堆疊數與佇列數再探

本文重新探討了圖的堆疊數和佇列數之間的關係，並簡化了證明堆疊數不受佇列數限制的過程。

堆疊數與佇列數

• 堆疊數和佇列數是與圖的線性化概念相關的圖不變量。
• 圖的線性化是將圖的頂點排列在一条線上，並按照此順序處理圖的邊。
• 堆疊數 (sn(G)) 是指在不違反堆疊特性的情況下，用於儲存圖的所有邊所需的最少堆疊數量。
• 佇列數 (qn(G)) 是指在不違反佇列特性的情況下，用於儲存圖的所有邊所需的最少佇列數量。

研究背景

• Dujmović 和 Wood 在 2005 年強調了堆疊數和佇列數之間的關係問題。
• 長期以來，人們一直不清楚堆疊數是否受佇列數限制，反之亦然。
• 2022 年，Dujmović 等人建構了一類佇列數最多為 4 但堆疊數不受限制的圖，證明了堆疊數不受佇列數限制。

本文貢獻

• 本文基於 Dujmović 等人的研究成果，提供了一個更簡短、更簡單的證明，證明了圖的堆疊數不受佇列數限制。
• 證明過程利用了 Ramsey 定理、Erdős–Szekeres 定理和 Gale 定理等經典結果。
• 本文簡化了證明過程，省略了一些技術步驟，並以更直接的方式處理了成對交叉路徑的情況。

結論

• 本文證明了圖的堆疊數不受佇列數限制，確認了佇列在圖形線性化處理中比堆疊更強大。
• 該證明為理解堆疊數和佇列數之間的關係提供了新的見解。

Статистика

圖 Hn 是具有 n^2 個頂點的六邊形網格的平面對偶圖。
Sa 是具有 n 個葉子的星形圖。
G = Sa□Hn 是 Sa 和 Hn 的笛卡爾積。
qn(G) ≤ 4，即圖 G 的佇列數最多為 4。
選擇 n = 2s 和 a = R(2s, 4n^2s + 1)m，其中 m = 2n^2−1。
根據證明，圖 G 的堆疊數 sn(G) ≥ s。

Цитаты

"The stack number is not bounded by the queue number."
"Queues are strictly better than stacks."

Ключевые выводы из

Stack and Queue Numbers of Graphs Revisited

by Petr... в arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2303.10116.pdf

Дополнительные вопросы

圖的堆疊數和佇列數之間的關係對於其他圖類別（例如平面圖或有向圖）有什麼影響？

圖的堆疊數和佇列數之間的關係對於不同圖類別有著重要的影響，以下將以平面圖和有向圖為例進行說明：
平面圖：

平面圖的堆疊數和佇列數都存在上限。具體來說，平面圖的佇列數最多為 4，而堆疊數最多為 4。
這個上限的存在意味著，對於任何平面圖，我們都可以找到一個使用有限數量堆疊或佇列的線性佈局。
然而，確定一個平面圖的確切堆疊數或佇列數仍然是一個 NP-hard 問題。
有向圖：

有向圖的堆疊數和佇列數的定義與無向圖類似，但需要考慮邊的方向性。
目前對於有向圖的堆疊數和佇列數的研究相對較少，尚未發現與平面圖一樣明確的上限關係。
然而，一些研究表明，某些特定類型的有向圖，例如外平面圖和系列平行圖，其堆疊數和佇列數存在一定關係。
總體而言，圖的堆疊數和佇列數之間的關係對於理解不同圖類別的結構和性質具有重要意義。

是否存在某些特定類型的圖，其堆疊數和佇列數之間存在某種關係？

是的，除了平面圖之外，還有一些特定類型的圖，其堆疊數和佇列數之間存在著某種關係。以下列舉一些例子：

樹狀圖： 樹狀圖的堆疊數和佇列數都為 1。這是因為樹狀圖可以透過深度優先搜索或廣度優先搜索的方式進行線性佈局，而不需要任何交叉或嵌套邊。
外平面圖： 外平面圖的堆疊數最多為 2，而佇列數最多為 2。
系列平行圖： 系列平行圖的堆疊數等於其路徑寬度，而佇列數最多為其路徑寬度加 1。
需要注意的是，這些關係僅適用於特定類型的圖。對於一般的圖，堆疊數和佇列數之間的關係仍然是一個開放性問題。

從計算複雜性的角度來看，確定圖的堆疊數和佇列數的難度如何？

從計算複雜性的角度來看：

確定一個圖的堆疊數和佇列數都是 NP-hard 問題。
這意味著，對於一般的圖，目前沒有已知的多項式時間算法可以確定其堆疊數或佇列數。
即使對於某些特定類型的圖，例如平面圖，確定其堆疊數或佇列數仍然是 NP-hard 問題。
儘管確定圖的堆疊數和佇列數是困難的，但對於一些特殊情況，我們可以利用一些算法和技術來解決：

固定頂點順序： 如果給定一個圖的頂點順序，那麼我們可以在多項式時間內確定其堆疊數和佇列數。
近似算法： 對於一些圖類別，例如平面圖，存在一些近似算法可以找到接近最優解的堆疊數或佇列數。
總之，確定圖的堆疊數和佇列數是一個具有挑戰性的問題，但對於一些特殊情況，我們可以利用現有的算法和技術來解決。