지역-확률 변동성 모델에서 실현 변동성에 대한 단기 만기 옵션 가격 책정의 대변동 이론 적용

Основные понятия

본 논문에서는 지역-확률 변동성 모델에서 실현 변동성에 대한 옵션 가격의 단기 만기 점근선을 대변동 이론을 사용하여 도출하고, 무상관 및 상관 브라운 노이즈 사례에 대한 분석 솔루션을 제시합니다.

Аннотация

지역-확률 변동성 모델에서 실현 변동성에 대한 단기 만기 옵션 가격 책정에 대한 연구

Pirjol, D., Wang, X., & Zhu, L. (2024). Short-maturity options on realized variance in local-stochastic volatility models. arXiv preprint arXiv:2411.02520v1.

본 연구는 지역-확률 변동성 모델에서 실현 변동성에 대한 옵션 가격의 단기 만기 점근선을 도출하는 것을 목표로 합니다.

Ключевые выводы из

Short-maturity options on realized variance in local-stochastic volatility models

by Dan Pirjol, ... в arxiv.org 11-06-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.02520.pdf

Дополнительные вопросы

이 연구에서 제시된 방법론을 다른 유형의 옵션, 예를 들어 장벽 옵션이나 아시아 옵션의 가격을 책정하는 데 적용할 수 있을까요?

이 연구에서 제시된 방법론은 변동성 옵션의 단기 만기 점근선에 초점을 맞추고 있으며, 이는 기본 자산 가격의 경로 의존성에 크게 의존합니다. 장벽 옵션이나 아시아 옵션 또한 경로 의존적인 특성을 지니고 있기 때문에, 이 연구에서 사용된 방법론의 핵심 아이디어를 적용할 수 있는 가능성이 있습니다.
장벽 옵션의 경우, 장벽을 고려한 경로 공간에서의 대규모 편차 원리를 사용하여 단기 만기 점근선을 도출할 수 있습니다. 이때, 장벽에 도달하는 경로와 그렇지 않은 경로를 구분하여 분석해야 하며, 이는 변분 문제의 복잡성을 증가시킬 수 있습니다.
아시아 옵션의 경우, 이 연구에서 사용된 지역-확률 변동성 모델 대신 지역 변동성 모델을 사용하여 분석을 단순화할 수 있습니다. 이 경우, 아시아 옵션의 가격은 기본 자산 가격의 기하 평균에 의존하며, 이는 변동성 옵션의 실현 변동성과 유사한 형태를 지닙니다. 따라서, 이 연구에서 제시된 변분 문제 해법 기술을 활용하여 아시아 옵션의 단기 만기 점근선을 도출할 수 있습니다.
하지만, 각 옵션의 특정 조건 및 특징에 따라 추가적인 분석 및 수정이 필요할 수 있습니다. 예를 들어, 옵션의 만기, 행사 가격, 기초 자산의 특성 등을 고려하여 분석을 진행해야 합니다.

지역-확률 변동성 모델의 매개변수를 추정하는 데 있어 단기 만기 점근선이 어떤 역할을 할 수 있을까요?

단기 만기 점근선은 지역-확률 변동성 모델의 매개변수를 추정하는 데 유용한 정보를 제공할 수 있습니다. 특히, 변동성 스마일과 같은 시장 데이터를 사용하여 모델을 보정할 때, 단기 만기 점근선을 활용하면 보다 정확하고 효율적인 매개변수 추정이 가능해집니다.
단기 만기 옵션 데이터는 장기 만기 옵션 데이터에 비해 모델의 오류에 덜 민감하게 반응합니다. 따라서, 단기 만기 점근선을 사용하면 모델의 매개변수를 보다 정확하게 추정할 수 있습니다. 또한, 단기 만기 점근선은 닫힌 형태로 표현되는 경우가 많기 때문에, 수치적 방법을 사용하는 것보다 계산 속도가 빠르다는 장점이 있습니다.
구체적으로, 단기 만기 점근선을 사용한 매개변수 추정은 다음과 같은 단계로 이루어질 수 있습니다.

시장 데이터에서 단기 만기 옵션 가격을 수집합니다.
이 연구에서 제시된 방법론을 사용하여 단기 만기 점근선을 계산합니다.
시장 데이터와 모델 간의 차이를 최소화하는 방향으로 매개변수를 조정합니다. 이때, 최소 제곱법이나 최대 우도 추정법과 같은 최적화 기법을 사용할 수 있습니다.

하지만, 단기 만기 점근선은 근사적인 해이기 때문에, 추정된 매개변수가 모델의 실제 값과 완벽하게 일치하지 않을 수 있습니다. 따라서, 단기 만기 점근선을 사용한 매개변수 추정은 다른 방법들과 함께 사용되어야 하며, 추정 결과의 신뢰성을 평가하기 위한 추가적인 분석이 필요합니다.

변동성 스마일과 같은 시장 데이터를 사용하여 이 연구에서 제시된 모델을 보정할 수 있는 방법은 무엇일까요?

변동성 스마일은 옵션의 행사 가격과 내재 변동성 간의 관계를 나타내는 그래프로, 시장에서 관찰되는 중요한 현상 중 하나입니다. 이 연구에서 제시된 지역-확률 변동성 모델을 보정하기 위해 변동성 스마일과 같은 시장 데이터를 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다.
1. 매개변수 보정:

변동성 스마일은 모델 매개변수에 따라 달라집니다. 따라서, 시장에서 관찰되는 변동성 스마일을 재현하도록 모델의 매개변수를 조정할 수 있습니다.
예를 들어, 국소 변동성 함수 η(St)와 변동성 변동성 함수 σ(Vt)를 적절히 조정하여 변동성 스마일의 형태를 제어할 수 있습니다.
이때, 최소 제곱법이나 최대 우도 추정법과 같은 최적화 기법을 사용하여 시장 데이터와 모델 출력 간의 차이를 최소화하는 방향으로 매개변수를 찾습니다.
2. 확률 과정 수정:

기존의 브라운 운동 대신 점프 확률 과정이나 레비 과정과 같은 보다 일반적인 확률 과정을 사용하여 모델을 확장할 수 있습니다.
이러한 확률 과정은 변동성 스마일의 급격한 변화나 점프를 보다 잘 포착할 수 있으며, 꼬리 위험을 더 잘 반영할 수 있습니다.
3. 지역-확률 변동성 모델의 확장:

다중 요인을 고려한 다변량 지역-확률 변동성 모델을 사용하여 변동성 스마일을 보다 정확하게 모델링할 수 있습니다.
예를 들어, 변동성 자체의 확률적 변동성을 추가하거나, 변동성과 자산 가격 간의 상관관계를 시간에 따라 변화하도록 모델링할 수 있습니다.
4. 비모수적 방법:

비모수적 방법을 사용하여 변동성 스마일을 직접 모델링할 수 있습니다.
예를 들어, 커널 회귀나 스플라인 보간과 같은 기법을 사용하여 시장 데이터에서 변동성 표면을 추정할 수 있습니다.
어떤 방법을 사용하든, 모델 보정 과정은 반복적이며 시행착오를 거쳐야 합니다. 또한, 모델의 복잡성과 계산 비용 사이의 균형을 맞추는 것이 중요합니다.