XOR関数のlog-rank予想に対する反証アプローチの否定

Centrala begrepp

XOR関数のlog-rank予想を解決するための2つの既存アプローチを強く否定する。

Sammanfattning

本論文では、XOR関数のlog-rank予想を解決するための2つの既存アプローチを否定する。

1. 大きな折り畳み方向の存在を仮定する手法:

   • この手法では、Fourier支持集合Sの中に、少なくともS/polylog(S)個の要素を含む折り畳み方向が存在すると仮定する。
   • しかし、著者らは無限に多くのnに対して、Sの要素間の折り畳み方向の数が最大でもS^(5/6)程度しかないような関数を構成することで、この仮定を否定する。

2. 多数の非自明な折り畳み方向の存在を仮定する手法:

   • この手法では、Fourier支持集合Sの中に、大きさS^(1/2-o(1))以上の折り畳み方向が高確率で存在すると仮定する。
   • しかし、著者らは無限に多くのnに対して、Sの中の任意の2つの要素間の折り畳み方向の大きさが高々S^(1/k)程度しかないような関数を構成することで、この仮定も否定する。

これらの結果から、XOR関数のlog-rank予想を解決するための既存のアプローチでは限界があることが示された。

Statistik

Fourier支持集合Sの大きさは、少なくとも2^6k以上である。
任意の異なる2つのγ1, γ2に対して、|(S + γ1) ∩ (S + γ2)| ≤ 2^(5k+4)である。
任意の k ≥ 1 に対して、Pr[|(S + γ1) ∩ (S + γ2)| ≥ 2^(k+2)] ≤ 2^(-k) + 2^(1-d)である。

Citat

なし

Viktiga insikter från

Refuting approaches to the log-rank conjecture for XOR functions

by Hamed Hatami... på arxiv.org 05-06-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.09400.pdf

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