決定 n 維燈光手推車群組和 S-單位方程式中的子單群成員資格

Centrala begrepp

我們證明了在 n 維燈光手推車群組 (Z/pZ) ≀Zn 以及更一般的形式 Y ⋊Zn (其中 Y 是有限生成的 Fp[X±
1 , . . . , X±
n ]-模組)中,子單群成員資格問題是可判定的。這解決了一個長期未解的開放問題,即有限擴展群組中子單群成員資格問題的可判定性。

Sammanfattning

本文的主要結果如下:

1. 我們證明了在 n 維燈光手推車群組 (Z/pZ) ≀Zn 以及更一般的形式 Y ⋊Zn (其中 Y 是有限生成的 Fp[X±
   1 , . . . , X±
   n ]-模組)中,子單群成員資格問題是可判定的(定理 3.1)。

2. 我們利用這個結果,解決了一個長期未解的開放問題:存在一個群組 G 及其有限指數子群 eG,使得 eG 中子單群成員資格問題是可判定的,但 G 中卻是不可判定的(推論 3.2)。

3. 為了證明定理 3.1,我們將子單群成員資格問題歸約到求解 Fp[X±
   1 , . . . , X±
   n ]-模組上的 S-單位方程式。我們證明了這些 S-單位方程式的解集是有效的 p-自動集(定理 3.3)。

4. 作為中間步驟,我們還證明了 Y ⋊Zn 中的背包問題的解集也是有效的 p-自動集(定理 3.4)。這個結果本身也是一個有趣的獨立成果。

總的來說,本文的主要貢獻是解決了一個長期未解的開放問題,並提出了新的技術來處理群組中的決策問題。

Statistik

對於任意質數 p 和整數 n,在 n 維燈光手推車群組 (Z/pZ) ≀Zn 中,子單群成員資格問題是可判定的。
在一般形式的群組 Y ⋊Zn (其中 Y 是有限生成的 Fp[X±
1 , . . . , X±
n ]-模組)中,子單群成員資格問題也是可判定的。
存在一個群組 G 及其有限指數子群 eG,使得 eG 中子單群成員資格問題是可判定的,但 G 中卻是不可判定的。
Fp[X±
1 , . . . , X±
n ]-模組上 S-單位方程式的解集是有效的 p-自動集。
Y ⋊Zn 中的背包問題的解集也是有效的 p-自動集。

Citat

"我們證明了在 n 維燈光手推車群組 (Z/pZ) ≀Zn 以及更一般的形式 Y ⋊Zn (其中 Y 是有限生成的 Fp[X±
1 , . . . , X±
n ]-模組)中,子單群成員資格問題是可判定的。"
"這解決了一個長期未解的開放問題,即有限擴展群組中子單群成員資格問題的可判定性。"
"為了證明定理 3.1,我們將子單群成員資格問題歸約到求解 Fp[X±
1 , . . . , X±
n ]-模組上的 S-單位方程式。我們證明了這些 S-單位方程式的解集是有效的 p-自動集。"

Viktiga insikter från

Submonoid Membership in n-dimensional lamplighter groups and S-unit equations

by Ruiwen Dong på arxiv.org 09-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2409.07077.pdf

Djupare frågor

本文的結果是否可以推廣到非質數模數 p 的情況,例如 p = p1p2 (其中 p1, p2 是不同的質數)?這與決定 p1-自動集和 p2-自動集的交集是否為空的問題密切相關。

本文的結果目前尚未明確推廣到非質數模數 p 的情況，例如當 p = p1p2 時。這一問題的複雜性主要源於 p1-自動集和 p2-自動集的交集是否為空的問題，這在計算群論中仍然是一個開放問題。具體來說，當考慮到 p1 和 p2 之間的相互作用時，決定這兩個自動集的交集是否為空可能會引入新的挑戰，因為這涉及到不同質數的自動性質和它們在群結構中的交互作用。因此，未來的研究可能需要探索這些交集的性質，並尋找有效的算法來解決這些問題。

除了子單群成員資格問題,本文的技術是否也可以應用於其他群論決策問題,例如有理子集成員資格問題或群論 Knapsack 問題?

本文的技術確實可以擴展到其他群論決策問題，例如有理子集成員資格問題和群論 Knapsack 問題。特別是，通過將子單群成員資格問題轉化為 S-單元方程的解決，這一方法可以應用於有理子集的成員資格問題，因為這些問題本質上涉及到群元素的組合和結構。對於 Knapsack 問題，本文已經證明了在 Y ⋊ Zn 結構中，Knapsack 問題的解集是有效的 p-自動集，這表明這些技術在解決這類問題時具有廣泛的應用潛力。因此，這些技術的有效性和可擴展性為未來的研究提供了新的方向。

本文的結果是否可以推廣到更一般的群結構,例如不是由模組和整數格子構成的群?這可能需要引入新的技術來處理群的結構。

本文的結果主要集中在由模組和整數格子構成的群結構上，對於更一般的群結構，推廣的可能性仍然存在挑戰。這是因為不同的群結構可能具有不同的代數性質和決策問題的複雜性。為了將這些結果推廣到更一般的群結構，可能需要引入新的技術，例如使用更高級的代數工具或拓撲方法來分析群的結構。此外，對於非模組結構的群，可能需要重新考慮決策問題的定義和解決方案。因此，這一領域的進一步研究將需要探索這些新技術的有效性及其在不同群結構中的應用。