Globale universelle Approximation funktionaler Eingabekarten in gewichteten Räumen

Centrala begrepp

Globale universelle Approximation von Funktionen in gewichteten Räumen.

Sammanfattning

Die Autoren stellen funktionale Eingabeneuronale Netzwerke vor, die auf möglicherweise unendlich dimensionalen gewichteten Räumen mit Werten in einem möglicherweise unendlich dimensionalen Ausgaberaum definiert sind. Sie verwenden eine additive Familie, um den Eingabegewichtsraum auf die versteckte Schicht abzubilden, auf der eine nichtlineare skalare Aktivierungsfunktion auf jeden Neuron angewendet wird, und geben schließlich die Ausgabe über einige lineare Ausgaben zurück. Durch die Verwendung von Stone-Weierstrass-Theoremen in gewichteten Räumen können sie ein globales universelles Approximationsergebnis für gewichtete Räume für kontinuierliche Funktionen beweisen, das über die übliche Approximation auf kompakten Mengen hinausgeht. Dies gilt insbesondere für die Approximation von (nicht-antizipativen) Pfadraumfunktionen über funktionale Eingabeneuronale Netzwerke. Als weitere Anwendung des gewichteten Stone-Weierstrass-Theorems beweisen sie ein globales universelles Approximationsergebnis für lineare Funktionen der Signatur. Sie führen auch die Sichtweise der Gauß-Prozess-Regression in diesem Rahmen ein und betonen, dass der reproduzierende Kern-Hilbertraum der Signaturkerne Cameron-Martin-Räume bestimmter Gauß-Prozesse sind. Dies ebnet den Weg für die Unsicherheitsquantifizierung für die Signaturkernregression.

Statistik

Jede Vorabbildung KR: "ψ^-1(p[0,R]) = {x ∈ X : ψ(x) ≤ R}" ist kompakt.
Die Gewichtsfunktion ψ(x) = η(||x||) ist untere Halbstetig.
X ist σ-kompakt.

Citat

"Globale universelle Approximation von Funktionen in gewichteten Räumen."
"Reproduzierende Kern-Hilberträume der Signaturkerne sind Cameron-Martin-Räume bestimmter Gauß-Prozesse."

Viktiga insikter från

Global universal approximation of functional input maps on weighted spaces

by Christa Cuch... på arxiv.org 03-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2306.03303.pdf

Djupare frågor

Wie beeinflussen gewichtete Räume die universelle Approximation von Funktionen?

Gewichtete Räume spielen eine entscheidende Rolle bei der universellen Approximation von Funktionen, insbesondere in Bezug auf die Approximation von Funktionen auf unendlich dimensionalen Räumen. Durch die Einführung einer adäquaten Gewichtsfunktion können wir die Approximation von Funktionen auf kompakten Mengen auf den gesamten Raum erweitern. Die Gewichtsfunktion kontrolliert das Wachstum der Funktionen außerhalb großer kompakter Mengen und ermöglicht es, die Dichte von Algebren mit moderatem Wachstum unter allen stetigen Funktionen zu beweisen. Dies ist entscheidend für die globale universelle Approximation auf gewichteten Räumen, die über die übliche Approximation auf kompakten Mengen hinausgeht. Durch die Verwendung von gewichteten Räumen können wir also eine umfassendere und präzisere Approximation von Funktionen auf unendlich dimensionalen Räumen erreichen.

Welche Auswirkungen hat die Einführung der Gauß-Prozess-Regression auf die Signaturkernregression?

Die Einführung der Gauß-Prozess-Regression in der Signaturkernregression hat mehrere Auswirkungen. Zunächst ermöglicht die Gauß-Prozess-Regression eine flexible Modellierung von Unsicherheiten in den Daten, was besonders wichtig ist, wenn es um die Regression von Signaturen geht. Durch die Verwendung von Gauß-Prozessen können wir die Unsicherheit in den Vorhersagen quantifizieren und somit fundiertere Entscheidungen treffen. Darüber hinaus wird die Signaturkernregression durch die Gauß-Prozess-Regression effizienter und präziser, da sie die Modellierung von komplexen Zusammenhängen in den Daten erleichtert. Insgesamt führt die Einführung der Gauß-Prozess-Regression zu einer verbesserten Leistung und Genauigkeit der Signaturkernregression.

Wie können die Ergebnisse dieser Studie in der Praxis angewendet werden?

Die Ergebnisse dieser Studie haben vielfältige Anwendungen in der Praxis, insbesondere im Bereich des maschinellen Lernens und der Datenanalyse. Die globalen universellen Approximationsresultate auf gewichteten Räumen können dazu verwendet werden, komplexe Funktionen und Daten auf unendlich dimensionalen Räumen präzise zu approximieren. Dies ist besonders relevant in Bereichen wie der Finanzmathematik, der stochastischen Analyse und der Funktionsdatenanalyse. Darüber hinaus können die Erkenntnisse zur Gauß-Prozess-Regression in der Signaturkernregression dazu beitragen, die Vorhersagegenauigkeit zu verbessern und Unsicherheiten in den Daten zu berücksichtigen. Insgesamt können die Ergebnisse dieser Studie dazu beitragen, fortschrittliche und zuverlässige Modelle für komplexe Datenanalysen und Vorhersagen zu entwickeln.