Optimierung auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit unter Verwendung von Informationen zweiter Ordnung

Centrala begrepp

Diese Arbeit ergänzt den bestehenden Satz numerischer Optimierungsalgorithmen um eine Riemannsche Trust-Region-Methode, die speziell auf die symplektische Stiefel-Mannigfaltigkeit zugeschnitten ist. Dazu leiten wir eine Matrixformel für den Riemannschen Hessischen unter einer rechtsinvarianten Metrik ab und schlagen eine neuartige Retraktion zur Approximation der Riemannschen Geodäten vor.

Sammanfattning

Die Arbeit befasst sich mit Riemannscher Optimierung auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit, einer glatten Mannigfaltigkeit, die in der numerischen linearen Algebra von Bedeutung ist.

Die Autoren ergänzen den bestehenden Satz numerischer Optimierungsalgorithmen um eine Riemannsche Trust-Region-Methode, die speziell auf die symplektische Stiefel-Mannigfaltigkeit zugeschnitten ist. Dazu leiten sie eine Matrixformel für den Riemannschen Hessischen unter einer rechtsinvarianten Metrik ab und schlagen eine neuartige Retraktion zur Approximation der Riemannschen Geodäten vor.

Darüber hinaus führen die Autoren einen vergleichenden Studien durch, in denen sie die Leistung der Riemannschen Varianten des Gradientenabstiegs, der nichtlinearen konjugierten Gradienten und der Trust-Region-Methode an ausgewählten Matrixoptimierungsproblemen mit symplektischen Nebenbedingungen gegenüberstellen.

Statistik

Die symplektische Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit in R^(2n x 2k) mit Dimension (4n - 2k + 1)k.
Die Riemannsche Metrik auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit ist rechtsinvariant.
Die Berechnung des Riemannschen Hessischen ist im Vergleich zu Gradient und anderen Größen rechenintensiv.

Citat

"Diese Arbeit ergänzt den bestehenden Satz numerischer Optimierungsalgorithmen um eine Riemannsche Trust-Region-Methode, die speziell auf die symplektische Stiefel-Mannigfaltigkeit zugeschnitten ist."
"Darüber hinaus führen die Autoren einen vergleichenden Studien durch, in denen sie die Leistung der Riemannschen Varianten des Gradientenabstiegs, der nichtlinearen konjugierten Gradienten und der Trust-Region-Methode an ausgewählten Matrixoptimierungsproblemen mit symplektischen Nebenbedingungen gegenüberstellen."

Viktiga insikter från

Riemannian optimization on the symplectic Stiefel manifold using second-order information

by Rasmus Jense... på arxiv.org 04-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.08463.pdf

Djupare frågor

Wie könnte man den Rechenaufwand für die Berechnung des Riemannschen Hessischen reduzieren?

Um den Rechenaufwand für die Berechnung des Riemannschen Hessischen zu reduzieren, könnten verschiedene Ansätze verfolgt werden. Ein möglicher Weg wäre die Verwendung von Approximationstechniken, um den Hessian-Operator effizient zu schätzen, anstatt ihn genau zu berechnen. Dies könnte die Berechnung des Hessians weniger rechenintensiv machen, insbesondere in Situationen, in denen die genaue Berechnung zu aufwändig ist. Darüber hinaus könnte die Verwendung von speziellen Strukturen oder Eigenschaften der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit ausgenutzt werden, um den Rechenaufwand zu minimieren. Eine sorgfältige Auswahl von Algorithmen und Optimierungstechniken, die speziell auf die Geometrie der Mannigfaltigkeit zugeschnitten sind, könnte ebenfalls dazu beitragen, den Rechenaufwand zu reduzieren.

Welche anderen Anwendungen der Riemannschen Optimierung auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit sind denkbar?

Die Riemannsche Optimierung auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit bietet eine Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten in verschiedenen Bereichen. Einige denkbare Anwendungen könnten sein:

Struktur-erhaltende Modellreduktion von Hamiltonschen Systemen: Durch die Anwendung von Riemannscher Optimierung auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit können Modelle von Hamiltonschen Systemen effizient reduziert werden, während die Struktur erhalten bleibt.
Berechnung von symplektischen Eigenwerten: Die symplektischen Eigenwerte spielen eine wichtige Rolle in verschiedenen Anwendungen, wie z.B. in der Quantenmechanik oder der Strukturmechanik. Die Riemannsche Optimierung kann hierbei helfen, diese Eigenwerte effizient zu berechnen.
Mittelung von linearen optischen Systemen: In der Optik werden häufig lineare Systeme verwendet, deren Mittelung auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit durch Riemannsche Optimierung optimiert werden kann.

Inwiefern lassen sich die Erkenntnisse aus dieser Arbeit auf andere Riemannsche Mannigfaltigkeiten übertragen?

Die Erkenntnisse aus dieser Arbeit zur Riemannschen Optimierung auf der symplektischen Stiefel-Mannigfaltigkeit können auf andere Riemannsche Mannigfaltigkeiten übertragen werden, insbesondere wenn diese ähnliche Strukturen oder Eigenschaften aufweisen. Die grundlegenden Prinzipien und Techniken der Riemannschen Optimierung, wie z.B. Retraktionen, Vektortransport und die Berechnung des Hessians, sind in der Regel auf verschiedene Riemannsche Mannigfaltigkeiten anwendbar. Durch Anpassung und Modifikation dieser Techniken können die Erkenntnisse dieser Arbeit auf andere Riemannsche Mannigfaltigkeiten übertragen werden, um Optimierungsprobleme effizient zu lösen.