Effiziente numerische Methode für nichtlineare Kolmogorov-PDEs durch Sensitivitätsanalyse

Centrala begrepp

Die Autoren untersuchen nichtlineare Kolmogorov-Partialdiffer-entialgleichungen (PDEs) und entwickeln eine effiziente numerische Methode zu deren Approximation, indem sie eine Sensitivitätsanalyse der PDEs durchführen.

Sammanfattning

Die Autoren betrachten nichtlineare Kolmogorov-PDEs, bei denen der nichtlineare Teil aus dem Hamiltonoperator resultiert, bei dem über alle möglichen Drift- und Diffusionskoeffizienten in einer ε-Umgebung von vorgegebenen Basiskoeffizienten maximiert wird.
Das Ziel ist es, die Sensitivität dieser PDEs bezüglich einer solchen kleinen Nichtlinearität zu quantifizieren und zu berechnen, um dann darauf aufbauend eine effiziente numerische Methode zu entwickeln.
Die Autoren zeigen, dass im Grenzwert ε → 0 die nichtlineare Kolmogorov-PDE gleich der linearen Kolmogorov-PDE mit den Basiskoeffizienten plus einem Korrekturterm ist, der durch die Lösung einer weiteren linearen Kolmogorov-PDE charakterisiert werden kann. Da diese linearen PDEs effizient durch ihre Feynman-Kac-Darstellung gelöst werden können, liefert die Sensitivitätsanalyse dann eine Monte-Carlo-basierte numerische Methode, die auch hochdimensionale nichtlineare Kolmogorov-Gleichungen effizient lösen kann.

Statistik

Für jeden (t, x) ∈ [0, T) × Rd gilt im Grenzwert ε → 0: vε(t, x) = v0(t, x) + ε · ∂εv0(t, x) + O(ε2), wobei ∂εv0(t, x) = E[∫T
t (γ|w(s, x + Xo
s)| + η∥Jxw(s, x + Xo
s)σo∥F)ds|Xo
t = 0].
Die Prozesse Xo
s = bos + σoWs, s ∈ [0, T] und e
Xo
s = bos + σof
Ws, s ∈ [0, T] mit unabhängigen Brownschen Bewegungen W und f
W werden verwendet.

Citat

"Kolmogorov-Partialdiffer-entialgleichungen (PDEs) werden in verschiedensten Bereichen wie Physik, Chemie, Biologie, Finanzen und Klimamodellierung eingesetzt."
"Ein häufiges Modellierungsproblem besteht darin, die wahren Drift- und Volatilitätsparameter zu finden, die den zugrundeliegenden Evolutionsprozess beschreiben, was meist unbekannt ist."

Viktiga insikter från

Numerical method for nonlinear Kolmogorov PDEs via sensitivity analysis

by Daniel Bartl... på arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.11910.pdf

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