Robuste hochgradige upwind-Summation-by-Parts-Methoden für nichtlineare Erhaltungsgleichungen

Centrala begrepp

Hochgradige upwind-Summation-by-Parts-Methoden werden untersucht, um die Robustheit von numerischen Verfahren für nichtlineare Erhaltungsgleichungen zu verbessern.

Sammanfattning

Der Artikel untersucht die Robustheit hochgradiger upwind-Summation-by-Parts-Methoden (SBP) für nichtlineare Erhaltungsgleichungen.
Zunächst wird das Konzept der Flux-Vektor-Aufspaltung eingeführt und verschiedene Aufspaltungstechniken wie Lax-Friedrichs, Steger-Warming und van Leer-Hänel diskutiert. Anschließend wird die Formulierung hochgradiger upwind-SBP-Methoden für nichtlineare Probleme beschrieben. Dazu werden lokale upwind-SBP-Formulierungen mit Simultaneous Approximation Terms (SATs) und numerischen Flüssen entwickelt, um die Kopplung mehrerer Blöcke zu ermöglichen.
Weiterhin wird die Formulierung als globale upwind-SBP-Operatoren analysiert. Dabei zeigt sich ein subtiles Zusammenspiel zwischen dem Finite-Differenzen-Operator und der gewählten Flux-Vektor-Aufspaltung, insbesondere auf unstrukturierten krummlinigen Gittern.
Anschließend wird die lokale lineare/Energie-Stabilität der upwind-SBP-Methoden untersucht. Es wird gezeigt, dass diese Methoden für das Burgers-Gleichung stabil sind, in Fällen, in denen entropiebasierte Methoden Stabilitätsprobleme aufweisen.
Schließlich werden die upwind-SBP-Methoden mit verschiedenen Flux-Vektor-Aufspaltungen numerisch getestet. Neben 1D-Konvergenzstudien werden 2D- und 3D-Simulationen schockfreier Strömungen der kompressiblen Euler-Gleichungen, wie die Kelvin-Helmholtz-Instabilität und die inviskose Taylor-Green-Wirbelströmung, untersucht. Dabei zeigt sich die Robustheit der upwind-SBP-Methoden im Vergleich zu anderen Verfahren.

Statistik

Die Wellengeschwindigkeiten der 1D-Euler-Gleichungen sind λ1 = v - a, λ2 = v und λ3 = v + a, wobei a die Schallgeschwindigkeit ist.
Für den Lax-Friedrichs-Splitting gilt f± = 1/2(f ± λu), wobei λ eine globale obere Schranke für die Wellengeschwindigkeiten ist.
Für den Steger-Warming-Splitting gilt f± = ρ/2γ[(λ±1 + 2(γ-1)λ±2 + λ±3), (v-a)λ±1 + 2(γ-1)vλ±2 + (v+a)λ±3, (H-va)λ±1 + (γ-1)v2λ±2 + (H+va)λ±3]T, wobei H die Enthalpie ist.
Für den van Leer-Hänel-Splitting gilt f± = ±ρa(M±1)2/4[1, v, H]T + [0, p±, 0]T, wobei M die Machzahl ist und p± = 1 ± γM2/2 p.

Citat

"Failures due to positivity issues can be fixed by adding invariant domain preserving techniques, e.g., [27, 44, 53, 67]. However, it is desirable to combine such shock-capturing and invariant domain preserving approaches with a good baseline scheme such that the amount of additional dissipation can be kept low [68]."
"Many high-order methods with some provable stability properties can be obtained in the general framework of summation-by-parts (SBP) operators. SBP operators were originally developed for finite difference methods [36, 76]. They are the basis of entropy-stable flux differencing methods by mimicking integration by parts discretely."

Viktiga insikter från

On the robustness of high-order upwind summation-by-parts methods for nonlinear conservation laws

by Hend... på arxiv.org 03-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2311.13888.pdf

Djupare frågor

Wie können die Erkenntnisse aus dieser Arbeit auf andere Erhaltungsgleichungen wie die Navier-Stokes-Gleichungen übertragen werden?

Die Erkenntnisse aus dieser Arbeit, insbesondere im Zusammenhang mit upwind-SBP-Methoden und der Flux-Vektor-Aufspaltung, können auf andere Erhaltungsgleichungen wie die Navier-Stokes-Gleichungen übertragen werden, indem ähnliche numerische Ansätze angewendet werden. Bei den Navier-Stokes-Gleichungen handelt es sich um nichtlineare Erhaltungsgleichungen für die Strömungsdynamik, die eine Kombination aus Kontinuitätsgleichung, Impulsgleichung und Energiegleichung darstellen.
Durch die Anpassung der in dieser Arbeit untersuchten upwind-SBP-Methoden und der Flux-Vektor-Aufspaltung auf die Navier-Stokes-Gleichungen können robuste und effiziente numerische Lösungen für komplexe Strömungssimulationen entwickelt werden. Dies könnte beispielsweise die Verwendung von spezifischen numerischen Flussaufspaltungen und die Integration von konsistenten Ableitungsbegriffen in den Diskretisierungsschemata umfassen. Darüber hinaus könnten die Erkenntnisse zur Stabilitätsanalyse und zur Integration von künstlicher Dissipation genutzt werden, um numerische Instabilitäten in den Simulationen der Navier-Stokes-Gleichungen zu vermeiden.

Welche Möglichkeiten gibt es, die Flux-Vektor-Aufspaltung weiter zu optimieren, um die Robustheit der upwind-SBP-Methoden noch zu verbessern?

Um die Robustheit der upwind-SBP-Methoden weiter zu verbessern, gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Flux-Vektor-Aufspaltung zu optimieren:

Optimierung der numerischen Flussaufspaltung: Durch die Verfeinerung der numerischen Flussaufspaltungstechniken, z. B. durch die Verwendung von hochgenauen WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) oder ENO (Essentially Non-Oscillatory) Schemata, können Genauigkeit und Stabilität der upwind-SBP-Methoden verbessert werden.

Berücksichtigung von physikalischen Effekten: Die Berücksichtigung von physikalischen Effekten wie Viskosität, Turbulenz oder Wärmeleitung in der Flux-Vektor-Aufspaltung kann die Genauigkeit der Simulationen erhöhen und die Robustheit der Methoden gegenüber komplexen Strömungsphänomenen verbessern.

Adaptive Gittertechniken: Die Verwendung von adaptiven Gittertechniken, die die Auflösung dort erhöhen, wo starke Gradienten oder Strömungsstrukturen auftreten, kann die Effizienz und Genauigkeit der upwind-SBP-Methoden weiter steigern.

Integration von Parallelisierungstechniken: Die Implementierung von effizienten Parallelisierungstechniken, z. B. auf modernen Hochleistungsrechnern, kann die Rechenleistung der upwind-SBP-Methoden verbessern und die Skalierbarkeit für komplexe Simulationen erhöhen.

Inwiefern lassen sich die Erkenntnisse aus dieser Arbeit nutzen, um die Effizienz von Simulationen auf modernen Hochleistungsrechnern zu steigern?

Die Erkenntnisse aus dieser Arbeit können genutzt werden, um die Effizienz von Simulationen auf modernen Hochleistungsrechnern zu steigern, indem folgende Maßnahmen ergriffen werden:

Optimierung der Algorithmen: Durch die Anwendung von effizienten numerischen Algorithmen, die auf den Erkenntnissen aus der Arbeit basieren, können die Rechenzeiten reduziert und die Genauigkeit der Simulationen verbessert werden.

Implementierung von Parallelisierung: Die Implementierung von Parallelisierungstechniken, die die Berechnungen auf mehrere Prozessoren oder Rechenkerne verteilen, kann die Rechenleistung auf modernen Hochleistungsrechnern deutlich steigern und die Gesamtlaufzeit der Simulationen verkürzen.

Nutzung von GPU-Beschleunigung: Die Integration von GPU-Beschleunigungstechniken kann die Rechenleistung weiter steigern, indem komplexe Berechnungen auf die parallelen Recheneinheiten von Grafikkarten ausgelagert werden.

Adaptive Gittertechniken: Die Verwendung von adaptiven Gittertechniken in Kombination mit den upwind-SBP-Methoden kann die Effizienz der Simulationen erhöhen, indem die Rechenressourcen dort konzentriert werden, wo sie am meisten benötigt werden.

Durch die gezielte Anwendung dieser Maßnahmen können Simulationen auf modernen Hochleistungsrechnern effizienter gestaltet werden, was zu schnelleren und genaueren Ergebnissen führt.