論接觸同胚群的某些 C0 方面

Centrala begrepp

本文探討了接觸同胚的 C0 拓撲性質，特別關注了接觸同胚群的 Rokhlin 性質、譜範數、共軛範數和量化弱共軛等方面。

Sammanfattning

摘要
本文研究了與接觸同胚和接觸同胚的 C0 拓撲相關的許多問題。文中展示了接觸同胚的 Rokhlin 性質與接觸非壓縮性之間的聯繫，定義了接觸同胚上的一個新的共軛不變範數，並探討了它與接觸碎形範數的關係，還引入了一種與弱共軛等價性相關的共軛類大小的度量。此外，文中還證明了 Sandon 的譜範數是 C0 局部有界的，並將其定義擴展到接觸同胚。
主要內容
1. 簡介
本文關注 C0-接觸拓撲中反映在接觸同胚群及其 C0 閉包中的各個方面。C0-接觸拓撲領域研究平滑對象（如接觸同胚或勒讓德子流形）在 C0 極限下的行為。它類似於研究更為深入的 C0-辛拓撲領域。這兩個理論的出發點都是著名的 Eliashberg-Gromov 定理及其接觸類似物。它指出，通過辛同胚的 C0 極限獲得的微分同胚本身就是辛同胚，接觸同胚的 C0 極限也是如此。基於這些結果，我們將接觸同胚定義為可以通過平滑接觸同胚的 C0 極限獲得的同胚。近年來，在理解接觸同胚對勒讓德子流形的作用方面取得了重大進展。儘管取得了這些進展，但對接觸同胚的理解仍處於早期階段。我們重點從定量的角度研究接觸同胚和接觸同胚的共軛類的 C0 性質。
1.1. Rokhlin 性質
給定一個協方向接觸流形 (Y, ξ = ker α)，我們用 Cont0,c(Y ) 表示 (Y, ξ) 的緊支撐接觸同胚群的單位連通分支。這是 Y 的緊支撐同胚群的一個子群，記為 Homeoc(Y )。
我們在 Y 上固定一個黎曼度量，並用 d 表示 Y 上的誘導距離。Homeoc(Y ) 上的 C0 距離定義為：
dC0(ϕ, ψ) = max_{x∈Y} d(ϕ(x), ψ(x)).
相應的 C0 範數記為 ∥· ∥C0。最後，我們用 τC0 表示由 dC0 在 Homeoc(Y ) 上誘導的拓撲。這個拓撲使 Homeoc(Y ) 成為一個拓撲群。
記 Cont0,c(Y ) 為 Cont0,c(Y ) 在 (Homeoc(Y ), τC0) 中的閉包。由於 (Homeoc(Y ), τC0) 是一個拓撲群，因此 (Cont0,c(Y ), τC0) 也是一個拓撲群。
定義 1.2. 令 G 為一個拓撲群。如果存在 g ∈ G 使得 Conj(g) := {hgh−1 | h ∈ G} 在 G 中稠密，則稱 G 具有 Rokhlin 性質。
拓撲群的 Rokhlin 性質的定義最早是在 [24, 25] 中提出的。
我們的第一個目標是探索 Rokhlin 性質在 C0-接觸拓撲中的足跡。以下定理說明了 Cont0,c 的 Rokhlin 性質與接觸壓縮和非壓縮之間的二分法之間的聯繫。
定理 1.3. (Cont0,c(R2n+1), τC0) 具有 Rokhlin 性質。另一方面，(Cont0,c(R2n × S1), τC0) 不具有 Rokhlin 性質。
1.2. 接觸同胚上的譜範數
在 [39] 中，Sandon 定義了一個共軛不變範數 γ : Cont0,c(R2n × S1) → Z。該定義類似於 Viterbo 在 [48] 中給出的 Hamc(R2n) 上的譜範數的定義。這兩個定義都依賴於從生成函數同調中提取的譜不變量，我們將它們稱為各自群上的譜範數。
理想情況下，我們希望證明 γ 的 C0 連續性。由於 γ 是整數值的，因此這是不可能的。事實上，共軛不變範數在 Cont0,c 上永遠不會相對於任何拓撲連續。考慮到這一點，我們提出了以下連續性的替代方案。
令 G 為一個拓撲群，∥· ∥: G → R 為一個共軛不變範數。如果 ∥· ∥ 在 id 的某個鄰域上有界，則稱 ∥· ∥ 是局部有界的。人們很容易檢查，這等價於 ∥· ∥ 在 G 的每個元素的某個鄰域中都有界。
定理 1.7. 對於 ϕ, ψ ∈ Cont0,c(R2n × S1) 且 dC0(ϕ, ψ) < 1/2，有 |γ(ϕ) − γ(ψ)| ≤ 2。特別是，γ 在 (Cont0,c(R2n × S1), τC0) 上是局部有界的。
利用定理 1.7 和 γ 的性質，我們證明了以下結果：
命題 1.10. γ : Cont0,c(R2n × S1) → Z 是 C0 下半連續的。
基於這一結果，我們通過下極限將 γ 擴展到 Cont0,c(R2n × S1)。更準確地說，對於任何 ϕ ∈ Cont0,c(R2n × S1)，我們定義：
eγ(ϕ) = max_{U} min_{ψ∈U ′} γ(ψ),
其中 U 是 ϕ 在 Cont0,c(R2n × S1) 中的一個開 C0 鄰域，U ′ = U ∩ Cont0,c(R2n × S1)。定理 1.7 保證 eγ(ϕ) 對於所有 ϕ ∈ Cont0,c(R2n × S1) 都是有限的，並且我們有以下結果：
定理 1.11. eγ 是 Cont0,c(R2n × S1) 上的一個共軛不變範數，它在 Cont0,c(R2n × S1) 上與 γ 一致。此外，它相對於 τC0 是局部有界且下半連續的。
作為定理 1.11 的直接推論，我們得到了 (Cont0,c(R2n × S1), τC0) 不具有 Rokhlin 性質的另一個證明，見定理 1.3。事實上，如果它具有 Rokhlin 性質，即 Conj(g) 對於某些 g ∈ Cont0,c(R2n × S1) 是稠密的，則定理 1.11 意味著對於每個 f ∈ Cont0,c(R2n × S1)，|eγ(f) − eγ(g)| 都是有界的。由於 γ（因此也是 eγ）是無界的，所以這是不可能的，見定理 2.17。
1.3. 共軛範數和接觸碎形
再次假設 G 是一個拓撲群。對於 g ∈ G，用 Conj(g) 表示 Conj(g) 的閉包。如果集合：
S(G) = {g ∈ G | id ∈ Conj(g)}
是 G 的生成集，則稱 G 是共軛可分解的。如果 G 是共軛可分解的，我們將 G 上的共軛範數定義為與 S(G) 相關的字範數，記為 ∥· ∥conj。換句話說，對於 g ≠ id，
∥g∥conj = min{k | ∃g1, . . . , gk ∈ S(G), g = g1 . . . gk}.
顯然，∥· ∥conj 是整數值的，並且很容易驗證它是 G 上的一個共軛不變範數。我們的首要目標是證明對於每個接觸流形 (Y, ξ)，(Cont0,c(Y ), dC0) 都是共軛可分解的。這是由 R2n+1 中球的接觸壓縮和我們現在要回顧的接觸碎形引理得出的。
定理 1.13. 令 (Y, ξ) 為一個任意黎曼度量空間上的接觸流形。則 (Cont0,c(Y ), τC0) 是共軛可分解的，並且對於每個 ϕ ∈ Cont0,c(Y )，有：
∥ϕ∥conj ≤ ∥ϕ∥frac.
此外，當 (Y, ξ) = (R2n × S1, ξ0) 時，我們有：
1/2 γ(ϕ) ≤ ∥ϕ∥conj ≤ ∥ϕ∥frac.
1.4. 量化弱共軛
為了量化 Rokhlin 性質的失效程度，我們引入以下概念。令 G 為一個拓撲群，k ≥ 1 為一個整數，對於 h ∈ G，用 Conj(h) 表示 Conj(h) 的閉包。如果存在 ϕ0, . . . , ϕk ∈ G 使得：

ϕ0 = f, ϕk = g；
對於每個 i = 0, . . . , k − 1，存在 ψi ∈ G 使得 ϕi, ϕi+1 ∈ Conj(ψi)。

則稱 f, g ∈ G 是 k-共軛連通的。
我們現在定義，對於 f ≠ g，
dcc(f, g) = min{k | f 和 g 是 k-共軛連通的}
並且對於所有 g ∈ G，dcc(g, g) = 0。如果 f 和 g 對於任何 k 都不是 k-共軛連通的，則設置 dcc(f, g) = +∞。
很容易驗證 dcc 是 G 上的一個擴展度量，即一個可能取值為 +∞ 的度量。一般來說，dcc 沒有理由是雙不變的，事實上，對於 G = (Cont0,c(R2n × S1), τC0)，它既不是左不變的也不是右不變的。如果 G 具有 Rokhlin 性質，則 dcc 是一個平凡度量。因此，dcc 度量了群與 Rokhlin 性質的差距。
定理 1.17. 對於 (Cont0,c(R2n × S1), τC0)，dcc 是無界的。
定理 1.17 是定理 1.11 和 γ 的無界性的直接推論。它很容易推导出定理 1.3 的第二部分，因為 dcc 對於 (Cont0,c(R2n × S1), τC0) 不是平凡的。此外，它還讓我們更好地理解了 Cont0,c(R2n × S1) 中的共軛類，因為我們在定理 1.3 的證明中提供的基於非壓縮性的論證甚至沒有表明 dcc 不是一個平凡度量。儘管如此，我們對 dcc 的理解仍然十分有限。例如，我們不知道以下基本問題的答案：
問題 1.18. (Cont0,c(R2n × S1), τC0) 中的任意兩個元素是否對於某些有限的 k 都是 k-共軛連通的？換句話說，dcc 是一個真正的度量嗎？
1.5. 預量子化空間
第 1.1-1.4 節的結果部分地推廣到更一般的預量子化空間。令 (W, dλ) 為一個連通的精確辛流形。W 的預量子化空間是一個接觸流形 (W × S1, α = λ + dθ)，其中 θ 是由商 S1 = R/Z 誘導的 S1 上的坐標。
從現在開始，我們假設 W 是一個劉維爾流形，即一個劉維爾域的完備化，使得 c1|π2(W ) = 0，g 是 W 上的一個黎曼度量，並且 W × S1 具有積度量 g ⊕ gstd。我們用 SH(W) 表示 W 的辛同調。以下結果是定理 1.3 第二部分的推廣。
定理 1.19. 如果 SH(W) = 0，則 (Cont0,c(W × S1), τC0) 不具有 Rokhlin 性質。
定理 1.19 的證明是對定理 1.3 第二部分證明的輕微修改，它依賴於 Albers 和 Merry 在 [1] 中證明的非壓縮結果，即定理 2.9。SH(W) = 0 條件用於保證 W 中域的譜辛容量的有限性。
基於相同的想法，僅使用 [1] 中不同的非壓縮結果，我們可以證明另一個具有相同精神的定理。也就是說，令 m ≥ 1，並為 W × R2m × S1 配備接觸形式 λ − Σ_{i=1}^{n} yidxi + dθ 和和度量。用 cHZ 表示 W × R2m 中子集的 Hofer-Zehnder 容量。
定理 1.20. 假設 W 是一個劉維爾域 W0 的完備化，使得 cHZ(W0) 是有限的。則 (Cont0,c(W × R2m × S1), τC0) 不具有 Rokhlin 性質。
利用 Rabinowitz Floer 同調，Albers 和 Merry 定義了譜不變量 cAM : ]Cont0,c(W × S1) → R，它是 Cont0,c(W × S1) 的泛覆蓋。雖然這些不變量與 Sandon 的譜不變量有很多共同的性質，但 [1] 並沒有定義 Cont0,c(W × S1) 上的譜範數。下一個定理證明了 cAM 的 C0 連續性。
定理 1.22. 令 eϕ ∈ ]Cont0,c(W × S1) 且 ϕ = eϕ1 ∈ Cont0,c(W × S1)。如果 ∥ϕ∥C0 < 1/2，則 |cAM(eϕ)| ≤ ∥ϕ∥C0。
最後，我們注意到 W × R 也可以配備由 α = dz + λ 給出的接觸形式，其中 z 是 R 上的坐標。現在，對於 W = R2n，我們恢復了定理 1.3 中討論的 (R2n+1, ξ0)。與該結果類似，我們提出以下問題：
問題 1.25. 對於哪些精確的 W，(Cont0,c(W × R), τC0) 的 dcc 是有界的？
結論
本文研究了接觸同胚的 C0 拓撲性質，特別是 Rokhlin 性質、譜範數、共軛範數和量化弱共軛等方面。通過引入新的概念和證明一系列定理，文章揭示了接觸同胚群在 C0 拓撲下的豐富性質，並提出了一些有待進一步研究的問題。

Statistik

Viktiga insikter från

On certain $C^0$-aspects of contactomorphism groups

by Bapt... på arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.11422.pdf

Djupare frågor

如何將接觸碎形引理推廣到 Cont0,c？

將接觸碎形引理推廣到 Cont0,c 是一個尚未解決的有趣問題。主要的困難在於，對於 Cont0,c 中的元素，我們無法保證其與恆等映射之間存在光滑的形變。以下是一些可能的研究方向：

尋找 Cont0,c 中元素的特殊分解: 可以嘗試尋找 Cont0,c 中元素的特殊分解，使其可以被分解為有限個具有良好性質的接觸同胚的複合，例如局部可控的接觸同胚。
利用 C0 逼近: 可以嘗試利用 Cont0,c 中元素可以被光滑接觸同胚 C0 逼近的特性。對於逼近的光滑接觸同胚，我們可以使用接觸碎形引理，然後嘗試將分解的結果推廣到 C0 極限。
發展新的技術: 可能需要發展新的技術來處理 Cont0,c 中元素的非光滑性。例如，可以嘗試使用接觸拓撲中的 h-原理或其他柔性方法。

總之，將接觸碎形引理推廣到 Cont0,c 是一個具有挑戰性的問題，需要新的想法和技術。

是否存在 (Y, ξ) 使得 ∥· ∥conj ≠ ∥· ∥frac？

雖然目前沒有找到反例，但直觀上 ∥· ∥conj 和 ∥· ∥frac 這兩個範數應該是不相等的。

∥· ∥frac 依赖于 Darboux 球覆盖: 接觸碎形範數 ∥· ∥frac 的定義依赖于用 Darboux 球覆盖接觸同胚的支撐，因此它與接觸流形的几何形状密切相关。
∥· ∥conj 只依赖于共轭类: 而共轭範數 ∥· ∥conj 只依赖于接觸同胚的共轭类，它更侧重于群的代数结构。
因此，很難想像 ∥· ∥conj 和 ∥· ∥frac 這兩個範數在所有情況下都相等。寻找反例的一個可能方向是考虑具有复杂几何形状的接觸流形，例如具有非平凡拓扑或几何结构的流形。

對於哪些精確的 W，(Cont0,c(W × R), τC0) 的 dcc 是有界的？

dcc 的有界性反映了 Cont0,c(W × R) 中元素共轭类的“大小”。直观上，如果 W 具有较大的“容量”或者较为灵活的接触几何结构，那么 Cont0,c(W × R) 中元素的共轭类可能会更大，dcc 也就更有可能无界。
以下是一些可能导致 dcc 有界的 W 的特征：

W 具有有限的容量: 如果 W 具有有限的容量，例如 Gromov 容量或 Hofer-Zehnder 容量，那么 Cont0,c(W × R) 中元素的“移动范围”将受到限制，这可能导致 dcc 有界。
W 具有刚性的接触结构: 如果 W 上的接触结构较为刚性，例如不存在非平凡的接触同胚，那么 Cont0,c(W × R) 中元素的共轭类也会受到限制，这同样可能导致 dcc 有界。
需要强调的是，目前对于 dcc 有界性的理解还很有限，上述只是一些初步的想法。 确定 dcc 对于哪些 W 是有界的，是一个非常有趣且具有挑战性的问题，需要进一步的研究。