แนวคิดหลัก
テンソル型ニューラルネットワークを用いて、高次元定常状態フォッカー・プランク方程式を効率的に解くことができる。
บทคัดย่อ
本論文では、高次元定常状態フォッカー・プランク方程式を解くために、テンソル型ニューラルネットワークを提案している。具体的には以下の取り組みを行っている:
数値計算領域の適切な設定: 対応する確率過程のシミュレーションから得られた軌跡情報を用いて、数値計算領域を効率的に設定する。
テンソル型ニューラルネットワークの設計: 1次元フィードフォワードネットワークのテンソル積や放射基底関数のテンソル積を用いたテンソル型ネットワークを提案する。これにより、高次元問題でも効率的な自動微分計算が可能となる。
放射基底関数ネットワークの最適化: パラメータに制約を課すことで、高精度な近似が得られるよう工夫している。
数値積分の高精度化: テンソル型放射基底関数ネットワークでは解析的な積分が可能であり、テンソル型フィードフォワードネットワークではガウス求積法などを用いて高精度な数値積分を実現している。
これらの取り組みにより、2次元から10次元までのフォッカー・プランク方程式を効率的に解くことができることを示している。
สถิติ
2次元の環状ポテンシャルの例では、テンソル型放射基底関数ネットワークを用いると、高確率領域での相対誤差が0.01%以下となる。
4次元の例では、テンソル型放射基底関数ネットワークの相対誤差が1%以下、テンソル型フィードフォワードネットワークでも5%以下となる。
6次元の多峰性の例では、テンソル型放射基底関数ネットワークを用いると、高確率領域での相対誤差が10%以下となる。
10次元の多峰性の例では、適切な数値計算領域を設定することで、テンソル型放射基底関数ネットワークの相対誤差を8%以下に抑えられる。