임의의 필드에 대한 최대 원형 점 집합 및 암호화에 대한 응용

แนวคิดหลัก

본 논문에서는 유클리드 평면에서 원 위의 유리점 집합에 대한 연구를 임의의 필드로 확장하여, 유리점 집합의 크기와 분포를 분석하고 이를 암호화에 응용하는 방법을 제시합니다.

บทคัดย่อ

임의의 필드에 대한 최대 원형 점 집합 및 암호화에 대한 응용

본 논문에서는 유클리드 평면에서 원 위의 유리점 집합에 대한 연구를 보다 일반적인 프레임워크, 즉 임의의 필드로 확장합니다. 또한 "유리"라는 개념을 일반화하고 임의의 필드에 대한 원형 점 집합을 살펴봅니다. 또한 해당 원의 반지름과 기저 필드의 특성에 따라 달라지는 최대 원형 점 집합의 카디널리티를 결정합니다. 이러한 집합을 구성하기 위해, 우리는 이러한 모든 점이 서로 유리 거리를 갖도록 원 위에 새로운 점을 찾는 데 필요한 호환성 속성을 갖는 이른바 완벽 거리를 사용합니다. 그런 다음 회전 그룹을 정의합니다. 여기서 요소는 임의의 필드에 대한 원 위의 점이며, 필드가 소수 필드인 경우 해당 그룹의 하위 그룹과 완벽 거리 사이의 연결을 찾습니다. 또한, Diffie-Hellman 키 교환과 유사한 회전 그룹의 암호화에서 가능한 응용 프로그램을 설명합니다.

Rn에서 집합의 두 점 사이의 유클리드 거리가 유리수가 되도록 하는 점 집합을 고려하게 된 동기는 이른바 정수 점 집합에 대한 연구에서 비롯되었습니다. 여기서 점 사이의 모든 상호 거리는 정수입니다(예: [14,15,17,20] 참조). 이러한 정수 점 집합은 수천 년 동안 연구되어 왔습니다[11]. 이 분야에서 가장 유명한 결과 중 하나는 평면에서 무한 카디널리티의 모든 정수 점 집합이 직선에 포함되어 있다는 Erd˝os-Anning 정리[2, 5]입니다. 또한 Anning은 모든 상호 거리가 정수이고 이러한 거리의 길이가 디오판토스 방정식의 해인 원 위에서 12개의 점을 찾았습니다[1]. 그는 또한 카디널리티가 24와 48인 이러한 정수 원형 점 집합을 찾을 수 있다고 추측했습니다. 나중에 Friedelmeyer는 Anning[7]의 12개 지점을 구성하는 방법을 설명했으며 2020년에 Halbeisen과 Hungerb¨uhler[10]는 Anning의 알고리즘을 일반화하여 n ∈N에 대해 공통 원에서 3 · 2n개의 점을 찾았습니다. 임의의 유한 카디널리티의 정수 원형 점 집합을 구성하는 또 다른 절차는 [4]에 설명되어 있습니다. 또한 정수 및 유리 점 집합에 대한 최근 연구도 있습니다[21].
반면에 무한 카디널리티의 원형 점 집합은 유클리드 평면에 분명히 존재하며 모든 유한 유리 원형 점 집합의 원을 항상 조정하여 정수 원형 점 집합을 얻을 수 있습니다. 따라서 유리 원형 점 집합의 구성은 정수 점 집합의 구성과 밀접한 관련이 있으며 이전의 것들은 이미 Euler[6]에 의해 설명되었습니다. 이 장의 목표는 임의의 필드에 대한 아핀 평면에서 원형 점 집합을 구성하는 절차를 일반화하는 것입니다. 유클리드 거리로 작업하는 대신 Wildberger에서 소개되었으며 유한 필드 평면에서도 유사하게 사용할 수 있는 이른바 사분면을 사용합니다(또한 [23–25]와 비교). 나중에 Kurz는 이를 (제곱) 거리라고 불렀습니다([12,13,16] 참조).
그러나 우리의 초점은 고려되는 집합의 두 점 사이의 모든 제곱 거리가 기본 소수 필드의 제곱이 되도록 요구하는 유한 필드 평면에 대한 원의 최대 점 집합에 있습니다. 나중에 왜 이것이 임의의 필드 평면에 대한 유클리드 평면의 유리 원형 점 집합의 자연스러운 확장인지 알게 될 것입니다.
최대 원형 점 집합을 구성하기 위해 나중에 소개할 이른바 완벽 거리를 사용합니다. 이를 위해 먼저 다음 섹션에서 실수가 아닌 다른 필드에 대한 아핀 평면으로 작업할 때 "원", "거리" 및 "유리"라는 단어의 의미를 설명해야 합니다. 그런 다음 속편 부분에서 사용할 몇 가지 기본 개념을 상기하고 소개한 후에 이 작업을 수행합니다.

ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญจาก

Maximal Circular Point Sets over Arbitrary Fields and an Application to Cryptography

by Chris Busenh... ที่ arxiv.org 11-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.00648.pdf