パラメトリック偏微分方程式の解法

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ニューラルオペレーターを用いたガウシアンプロセスによる演算子学習: 計算力学のための不確実性認識型解像度非依存演算子学習アルゴリズム

本研究では、ガウシアンプロセスとニューラルオペレーターを融合した新しい確率的演算子学習アルゴリズムを提案する。提案手法は、ニューラルオペレーターによる潜在空間への写像を利用してカーネルを定式化することで、従来のカーネルの表現力を向上させる。さらに、ストキャスティック双対降下法を用いて、ニューラルオペレーターのパラメータとガウシアンプロセスのハイパーパラメータを同時に最適化することで、大規模データに対する高速な学習を実現する。提案手法は、解像度非依存性と信頼性の高い不確実性推定を備えており、計算力学分野での応用に適している。

パラメトリック偏微分方程式を複雑な領域で解くための演算子学習を組み込んだハイブリッドカーネルフリー境界積分法

本研究では、境界積分法の枠組みの中で、偏微分方程式のパラメータ、非均質項、境界情報をデンシティ関数にマッピングするニューラルネットワークを設計することで、カーネルフリー境界積分(KFBI)法の効率を向上させる新しいハイブリッドKFBI法を提案した。

パラメトリック偏微分方程式をラジアル基底関数と深層ニューラルネットワークで解く

本論文は、ラジアル基底関数と深層ニューラルネットワークを組み合わせた新しいアルゴリズム(POD-DNN)を提案し、不規則な領域のパラメトリック偏微分方程式の近似的な解法を示している。POD-DNNアルゴリズムは、パラメトリック方程式の解集合の低次元性と、正準直交分解(POD)に基づく縮約基底法(RBM)およびニューラルネットワークの特性を活用している。数値実験では、オンライン計算の大幅な高速化を実現している。また、理論的にもPOD-DNNアルゴリズムの近似精度を保証する上界を導出している。

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