リスクベースの価格設定のメリット・デメリット

リスクベースの価格設定は、従来の価格設定モデルと比較して、いくつかのメリットとデメリットがあります。メリット: より現実的な価格設定: モデルの不確実性を考慮することで、リスクベースの価格設定は、市場で観測される価格により近い、より現実的な価格を提供することができます。従来のモデルは、完全市場や特定の確率分布の仮定など、現実的な市場では必ずしも成り立たない仮定に基づいていることが多く、その結果、理論値と市場価格の間に乖離が生じることがあります。リスク管理の強化: リスクベースの価格設定は、取引に伴うリスクをより正確に把握することを可能にし、リスク管理の強化に役立ちます。特に、テールリスクなど、従来のモデルでは過小評価される可能性のあるリスクをより適切に評価することができます。意思決定の改善: より正確な価格とリスク評価は、投資家やトレーダーの意思決定を改善するのに役立ちます。例えば、リスク許容度に基づいた最適なポートフォリオを構築したり、より適切なヘッジ戦略を立てることができます。デメリット: 計算の複雑さ: リスクベースの価格設定は、従来のモデルよりも計算が複雑になることが多く、高度な数学的知識や計算能力を必要とすることがあります。パラメータの推定: モデルの不確実性を考慮するため、リスクベースの価格設定では、従来のモデルよりも多くのパラメータを推定する必要があります。これらのパラメータの推定は困難な場合があり、推定誤差が価格設定に影響を与える可能性があります。モデルリスク: リスクベースの価格設定は、モデルの不確実性を考慮していますが、モデル自体が完全に正しいわけではありません。そのため、モデルリスクが存在し、価格設定が誤っている可能性があります。

モデルの不確実性を考慮しない場合のリスクベースの価格設定

モデルの不確実性を考慮しない場合、リスクベースの価格設定は、従来の価格設定モデルである、リスク中立評価法と類似したものになります。リスク中立評価法では、市場が無裁定であるという仮定の下で、リスク中立確率測度を用いてデリバティブの価格を計算します。このリスク中立確率測度は、市場参加者がリスクに対して中立的であると仮定した場合の確率測度です。一方、リスクベースの価格設定では、エントロピーリスク尺度などのリスク尺度を用いて、投資家のリスク回避度を考慮した価格設定を行います。モデルの不確実性を考慮しない場合、このリスク尺度は、リスク中立確率測度の下での期待値として表現することができます。つまり、モデルの不確実性を考慮しない場合、リスクベースの価格設定は、リスク中立評価法と数学的に等価なものとなります。ただし、リスクベースの価格設定では、リスク尺度を自由に選択することで、投資家のリスク回避度をより柔軟に表現できるという利点があります。

アメリカ型オプションへの拡張

本稿のモデルは欧州型のオプションに焦点を当てていますが、アメリカ型のオプションやその他のより複雑なデリバティブに拡張することは可能です。アメリカ型のオプションは、満期日より前に任意の時点で権利行使が可能なオプションであり、その価格評価は、最適な権利行使時期を考慮する必要があるため、欧州型オプションよりも複雑になります。リスクベースの価格設定の枠組みでは、アメリカ型オプションの価格評価は、最適停止問題として定式化することができます。具体的には、各時点におけるオプションの保有価値と権利行使価値を比較し、最適な権利行使戦略を決定することで、オプションの価格を計算します。ただし、モデルの不確実性を考慮すると、最適停止問題の解は、従来のモデルよりも複雑になります。例えば、動的計画法を用いる場合、各時点における状態空間が、従来のモデルよりも大きくなるため、計算量が大幅に増加する可能性があります。近年では、深層学習などの機械学習の手法を用いて、複雑な最適停止問題を効率的に解く研究が進められています。これらの手法を用いることで、リスクベースの価格設定の枠組みを、アメリカ型オプションやその他のより複雑なデリバティブに拡張することが期待されています。

Discrete approximation of risk-based prices under volatility uncertainty

Temel Kavramlar

ボラティリティが不確実な状況下では、リスクベースの価格設定を用いることで、従来の最悪ケースシナリオに基づく価格設定と比較して、ビッドアスクスプレッドを大幅に縮小できる。

Özet

本稿は、ボラティリティに不確実性がある離散時間金融市場において、リスクベースの無差別価格が、取引期間数を無限大に近づけたときの漸近的な挙動について考察しています。

論文の構成と要約

本論文は、計量経済学の論文に典型的な構成で書かれており、導入、市場モデルと価格設定オペレーター、エージェントの選好と無差別価格設定、数値例、結論、付録で構成されています。以下に、各セクションの概要と重要なポイントをまとめます。

導入

金融派生商品の価格計算は、基礎となるモデルと確率分布の選択に大きく依存する。
しかし、これらの分布は一般的に正確にはわからないため、ロバストファイナンスでは、可能な遷移確率の集合を考慮することで、モデルの不確実性を考慮する。
本稿では、離散時間における単純な資産モデルから始め、中間取引期間の数が無限大になるにつれて、デリバティブ価格の漸近的な挙動を分析する。
この古典的な例として、二項モデルにおけるデリバティブ価格のバシュリエ価格またはブラック・ショールズ価格への収束がある。
離散金融モデルは、一般的にモデリングの観点からは簡単であり、取引は通常、離散的な時点で発生するため、自然に発生する。
それにもかかわらず、連続時間モデルは、確率計算とPDE法を使用できるため、非常に人気がある。
さらに、最近では、不確実なマルコフ遷移核を持つ離散時間モデルのスーパーヘッジング価格は、ドリフトとボラティリティの不確実性を持つ連続時間モデルのスーパーヘッジング価格に収束することが示されている。
スーパーヘッジング価格は、裁定機会を生み出さない妥当な価格の区間に対応する。
このような区間は、当然のことながら、裁定取引のないビッドアスクスプレッドと関連付けることができるが、これらの範囲は、一般的に、不完全市場におけるコンティンジェントクレームの価格に関する情報を提供するには広すぎる。
実際、市場で活動する各エージェントは、同じコンティンジェントクレームに対して異なる主観的な価値を割り当てており、これは、スーパーヘッジング価格またはサブヘッジング価格によって規定された範囲に違反する可能性がある。
不完全市場で観察されるビッドアスクスプレッドを縮小するための古典的なアプローチは、エージェントに効用関数またはリスク尺度を関連付けることによって、エージェントの選好を考慮することである。
この方向に発展した文献の1つの分野は、いわゆるグッドディールバウンドを導入した。
グッドディールバウンドは、高い期待効用をもたらす戦略、つまり、あまりにも良い取引を表す価格でヘッジできる価格を除外することによって、ノーアービトラージバウンドを減らすことを目的としている。
グッドディールは、シャープレシオ、損益率、または効用関数によって測定されてきた。
さらに、ある設定では、リスクのレベルが許容できる限り、不完全なヘッジを許容している。
グッドディール価格と密接に関連しているのは、無差別価格であり、これは、デリバティブを売却するか保持するかの間で、エージェントの効用またはリスクに関して無関心にするものである。
2つの概念の関連性は、コヒーレントリスク尺度に基づく無差別価格が、グッドディール価格と同等であることが示されたことで、最初に確立された。
さらに、グッドディール価格を表すすべての凸型リスク尺度は、無差別価格によって与えられる。
グッドディール価格と無差別価格に関する文献の膨大なコレクションがある。
これまで、明示的な解決策は、資産プロセスが物理的測度Pに関して与えられ、グッドディールの不在が等価な局所マルチンゲール測度の集合{Q}Q〜Pに対する制限に変換される、支配的な設定でのみ与えられてきた。
しかし、市場の不完全性は、当然のことながら、モデルの不確実性と資産の分布を正確に推定できないことに関連しているため、モデルの不確実性を考慮した、より一般的なフレームワークが必要となるように思われる。
さらに、古典的な無差別価格設定は、多くの場合、1期間モデルの趣があることが指摘されている。
本稿では、資産プロセスの増分の不確実な分布が、劣線形期待値E[·]によって決定される、非支配的な設定で作業する。
さらに、ロバストエントロピーリスク尺度によって、ランダム損失Yに関連するリスクを測定するエージェントを考える。
エントロピーリスク尺度は、指数関数的効用の確実性等価物であるため、エージェントは、複数の事前確率のクラスに属する選好を持つ、ロバスト指数関数的効用最大化器と見なすこともできる。
「ロバスト」という用語は、双対表現から導き出すことができる、いくつかの妥当なモデルを考慮することを指す。
劣線形期待値の簡単な紹介については、サブセクション2.1とその中の参考文献を参照。
前述の研究とその拡張に続いて、ロバスト価格設定の問題は大きな注目を集めている。
特に、モデルの不確実性下での裁定取引理論とスーパーヘッジング双対性については、取引コストと取引制約が存在する場合の同様の結果については、を参照。
複数の事前確率問題は、支配的な設定における効用最大化の文脈でも、非支配的な設定における効用最大化の文脈でも取り組まれてきた。
指数関数的効用の具体的な文脈では、の著者は、連続時間の非ロバスト設定における双対性を証明している。
さらに、では、効用最大化問題の価値関数が、2次BSDEを介して特徴付けられ、単調性やリスク回避パラメータに関する漸近的な挙動など、価格設定関数のいくつかの特性が導き出されている。
これらの結果は、で拡張されており、非支配的な設定については、で拡張されている。
無制限の請求については、双対性と最大化因子の存在が、で確立されており、取引コストが存在する場合は、で確立されている。
d次元の離散時間市場から始めて、資産プロセスXは、独立した増分を持つと仮定する。
ここで、h> 0は固定ステップサイズ、µ∈Rdは決定論的ドリフト、ζは平均ゼロのd次元ランダムベクトルである。
ペイオフ関数fと満期T = Nhを持つ請求が与えられた場合、無差別アスク価格aT（f）∈Rは、関係によって一意に決定される。
ここで、ランダム変数θ1、...、θN：Ω→Θは、利用可能な戦略の集合Θ⊂Rdの値を取り、θkはすべてのk = 1、...、Nに対してX（k-1）h-可測であり、である。
適切な条件下では、aT：Cb→Cbを示すことができる。ここで、Cbは、すべての有界連続関数f：Rd→Rで構成される。
したがって、無差別アスク価格が時間整合性を持つ必要がある場合、それらは、1ステップ価格設定オペレーターI（h）f：= ah（f）と方程式によって完全に決定される。
動的整合性は、1期間モデルの解を反復することによって、複数期間の価格設定問題を解決するために、以前に課されている。
さらに、連続時間設定では、価格設定カーネルに対する局所的な条件は、時間整合性を含む、価格設定オペレーターの優れたグローバル特性を保証することが示されている。
サブセクション2.3では、動的に整合性のある価格設定オペレーターについて詳しく説明する。
ここでは、中間取引期間の数が無限大になるにつれて、マルチステップ価格の限界挙動に興味がある。
満期t≥0とし、すべてのn∈Nに対してhn：= t / nを減少するステップサイズのシーケンスとする。
次に、限界が存在する場合、ペイオフ関数fと満期tを持つ請求の漸近リスクベース価格を定義する。
前述の限界が存在することを証明し、無限小の挙動によって漸近リスクベース価格のグローバルダイナミクスを一意に特徴付けるために、方程式を非線形セミグループの近似結果として再定式化する。
この視点は、マルチピリオド価格の時間整合性が限界に移行するという事実、つまり、すべてのs、t≥0に対して、によって動機付けられている。
方程式は、方程式の右辺が、すべてのt≥0、f∈Cb、およびn∈Nに対して、によって与えられることを保証する。
ここで、I（h）：Cb→Cbは、ステップサイズh≥0の1期間の価格設定オペレーターを示す。
さらに、これらのオペレーターは、凸性や単調性などの望ましい特性を持っている。
Cb上の反復オペレーターのシーケンス（I（t / n）n）n∈Nが、（S（t））t≥0が強連続凸単調セミグループになるように、限界オペレーターS（t）：Cb→Cbに収束するかどうかという問題は、最近の

市場モデルと価格設定オペレーター

割引価格Xxkhで取引されるd∈N金融資産X =（X1、...、Xd）Tを考える。
すべての価格/ペイオフは、すべての考慮される取引時間で、すべての可能な状態で厳密に正であるニュメレールS0で表すことによって割引される。つまり、時間t∈T（h）におけるランダムペイオフZの割引値はZ / S0tで与えられる。
さらに、資産価格はXx0：= x∈Rdから始まり、ダイナミクスに従う。
ここで、µ∈Rdは決定論的ドリフトであり、（ζk）k∈Nは、次のサブセクションで指定される劣線形期待空間（Ω、H、E）上のiidランダムベクトルζk：Ω→Rdである。
資産分布と劣線形期待値
- 劣線形期待空間（Ω、H、E）は、集合Ω、ランダム変数の点ごとに順序付けられた線形空間H：Ω→R（c1Ω∈Hおよび| Y |∈H、すべてのc∈RおよびY∈H）と、を満たす劣線形期待値E：H→Rで構成される。
- 劣線形期待値は、すべてのシーケンス（Xn）n∈N（Xn↓0）に対してE [Xn]↓0の場合、上から連続と呼ばれる。
- 特性（i）と（iii）は、現金不変性を意味することに注意してください。つまり、すべてのY∈Hおよびc∈Rに対してE [Y + c] = E [Y] + cが成り立つ。
- 劣線形期待値は、Pengによって、資産分布のモデルの不確実性を組み込むために導入された。
- 実際、式は劣線形期待値を定義する。
- ここで、上限は、確率測度の不確実性集合Q（Ω、σ（H））に対して取得される。
- 一方、上から連続するすべての劣線形期待値は、このような表現を認める。
- 劣線形期待値は、数理ファイナンスにおけるコヒーレントリスク尺度、ロバスト統計における上限期待値、不正確確率の理論における上限コヒーレント予測など、他のいくつかの概念とも密接に関連している。
- 動的な設定では、劣線形期待値はBSDEにリンクされている。
- 空間Hを指定する代わりに、（ζk）k∈N⊂Hdと、以下に表示されるすべての項が再びHの要素であることを保証するのに十分な豊かさがあると仮定する。
- 特に、すべてのn∈Nおよびf∈Lipb（（Rd）n）に対してf（ζ1、...、ζn）∈Hと仮定します。ここで、Lipb（（Rd）n）は、すべての有界リプシッツ連続関数f：（Rd）n→Rの空間を示す。
- ランダムベクトル（ζk）k∈Nは、独立して同一分布（iid）であると想定されている。
- これは、すべてのf∈Lipb（Rd）とm、n∈Nに対してE [f（ζm）] = E [f（ζn）]であり、ζn + 1がすべてのn∈Nに対してζ1、...、ζnから独立していることを意味する。つまり、である。
- さらに、ランダムベクトルには平均の不確実性がない。つまり、である。
- 説明のために、関数Cb→R、f7→E [f（ζ1）]に対して、いくつかの例を示す。
- ここで、空間Cb：= Cb（Rd）は、すべての有界連続関数f：Rd→Rで構成される。
- すべてのf∈Lipb：= Lipb（Rd）に対してf（ζ1）∈Hをすでに想定しているので、劣線形期待値Eが上から連続している場合、項E [f（ζ1）]もすべてのf∈Cbに対して明確に定義される。
- 後者は、方程式の上限が、確率測度のタイトなセットに対して取得される場合に有効である。
連続時間制限とChernoff型近似
- これまで、固定ステップサイズh> 0の離散時間フレームワークで、方程式で与えられるダイナミクスに従う資産価格を検討してきた。
- ここでは、中間取引期間の数が無限大になるにつれて、資産ダイナミクスの限界挙動に興味がある。
- t≥0、x∈Rd、およびすべてのn∈Nに対してhn：= t / nとする。
- Xn、x0：= xとすべてのk、n∈Nに対してを定義する。
- Pengの劣線形期待値の中心極限定理から、すべてのf∈Cbに対して、が得られる。
- ここで、Bxtは、すべてのa∈Rd×dおよびb∈Rdに対してG（a、b）：= t2E [ζT1aζ1] +（x + tbT）µを使用して、G正規分布している。
- 線形ケースE [·] = EP [·]では、Bxt = x + tµ+√tξが得られる。
- ここで、ξ〜N（0、Σ）は、共分散行列Σ：= EP [ζ1ζT1]で正規分布している。
- PengのG正規分布の定義は、完全非線形PDEの粘性解の存在と一意性に依存しているが、本稿では、同等のセミグループの視点を採用する。
- 線形の場合、ファミリ（Bxt）t≥0は、線形遷移セミグループが熱セミグループによって与えられるブラウン運動である。
- セミグループは、そのジェネレーターによって一意に決定される。
- すべてのf∈C2bおよびx∈Rdに対して、（Af）（x）= 12Tr（ΣD2f（x））+ Df（x）Tµ。
- ここで、空間C2bは、有界の1次および2次導関数を持つ、すべての有界2回連続微分可能関数f：Rd→Rで構成される。
- 劣線形の場合、演算子は、そのジェネレーターによって一意に決定される、劣線形演算子S（t）：Cb→Cbのセミグループを形成する。
- さらに、方程式の一意の粘性解は、u（t、x）：=（S（t）f）（x）で与えられる。
- 以下では、セミグループアプローチについて詳しく説明する。
本稿全体を通して、空間Cbには、上限ノルム∥·∥∞とコンパクト集合上の一様収束のトポロジーの間の混合トポロジー、つまり、∥·∥∞-有界集合上でコンパクト集合上の一様収束のトポロジーと一致する、Cb上で最も強い局所凸トポロジーが与えられる。
特に、すべてのシーケンス（fn）n∈N⊂Cbおよびf∈Cbに対して、が成り立つ場合にのみ、fn→fとなる。
以下では、特に明記しない限り、Cbのすべての制限は、混合トポロジーに関して取得され、コンパクトサブセットはK⋐Rdで表される。
混合トポロジーは距離化可能ではないが、単調演算子S：Cb→Cbの場合、シーケンスの連続性は連続性と同等であり、これはさらにノルム有界集合上の連続性と同等であることが観察されている。
混合トポロジーの詳細については、およびその中の参考文献を参照。
関数はここでポイントごとに順序付けられているため、演算子S：Cb→Cbは、すべてのx∈Rdおよびf、g∈Cb（すべてのy∈Rdに対してf（y）≤g（y））に対して（Sf）（x）≤（Sg）（x）の場合、単調と呼ばれる。
すべてのf、g∈Cb、λ∈[0、1]、およびx∈Rdに対して、（S（λf+（1-λ）g））（x）≤λ（Sf）（x）+（1-λ）（Sg）（x）の場合、凸である。
次の定義は、本稿で研究するセミグループを特徴付けている。
強連続凸単調セミグループ
- オペレーターS（t）：Cb→Cbのファミリ（S（t））t≥0は、次の条件が満たされる場合、Cb上の強連続凸単調セミグループと呼ばれる。
  - （i）S（t）は、すべてのt≥0およびfn↓0に対してS（t）fn↓0で、凸で単調である。
  - （ii）すべてのs、t≥0およびf∈Cbに対して、S（0）f = fおよびS（s + t）f = S（s）S（t）f。
  - （iii）すべてのr、T≥0に対して、supt∈[0、T]∥S（t）r∥∞<∞。
  - （iv）すべてのf∈Cbに対して、f = limt↓0S（t）f。
- さらに、セミグループのジェネレーターは、によって定義される。
- ここで、ドメインは、前の制限が存在するようなすべてのf∈Cbで構成される。
Blessing et al。によって、強連続凸単調セミグループは、上限リプシッツ集合で定義された、いわゆる上限Γジェネレーターによって一意に決定されることが最近示された。
この結果は、その一般性のために説得力があるが、多くのアプリケーションでは、ジェネレーターAfは、十分に滑らかな関数fに対してのみ決定できる。
ただし、追加の条件下では、セミグループは、滑らかな関数、またはコンパクトなサポートを持つ滑らかな関数でのジェネレーターの評価によってすでに一意に決定される。
本稿で紹介するアプリケーションに十分な正確なステートメントは、定理5.4に記載されている。
強連続凸単調セミグループに関する2番目の主な結果は、それらが、形式のChernoff型近似を可能にすることである。
ここで、出発点は、反復オペレーターI（t / n）n：= I（t / n）◦...◦I（t / n）を導き出す、1ステップオペレーターI（t）：Cb→Cbのファミリ（I（t））t≥0である。
適切な安定条件下では、方程式の限界が存在し、（I（t））t≥0の無限小の挙動によって一意に決定される、Cb上の強連続セミグループ（S（t））t≥0を定義する。
正確には、滑らかな関数fに対してAf = I '（0）f：= limh↓0I（h）f-fhが成り立ち、前述の比較原理を適用できる。
Chernoff型近似は、で研究されており、セクション5では、本稿の主な結果の証明の基礎となる正確なステートメントを思い出す。
エージェントの選好と無差別価格設定
- ここでは、リスク回避パラメータα∈（0、∞）を使用してエントロピーリスク尺度によってリスクエクスポージャーを測定するエージェントを検討することにより、エージェントの選好を紹介する。つまり、ランダム損失Y∈Hに対するエージェントのリスクは、によって与えられる。
- ここで、（Ω、H、E）は、資産分布のモデルの不確実性を組み込んだ劣線形期待空間である。
- ここでは、ポジションではなく損失に対して定義された関数としてのリスク尺度を検討する。つまり、ポジションZのリスクはρ[-Z]で与えられる。
- 無差別価格設定フレームワークを開発するために、最初に、売り手の欧州コンティンジェントクレームの価格を表すアスク価格設定オペレーターに焦点を当て、対応するビッド価格はセクション4.5で導出する。
- 取引期間h> 0の資産ダイナミクス（Xxt）t∈T（h）は、すでにセクション2の冒頭で指定されていることを思い出してください。
- したがって、時間t∈T（h）で資産価格Xxtが与えられた場合のコンティンジェントクレームf（Xxt + h）のアスク価格ah、Xxt（f）は、無差別価格関係によって決定される。
- ここで、Θ⊂Rdには、利用可能なすべての取引戦略が含まれている。
- この関係は、次のように解釈する必要がある。
- エージェントは常に市場で取引してリスクエクスポージャーを削減できると仮定すると、数量ah、Xxt（f）は、エージェントがこの価格でデリバティブを売却するか、デリバティブを保持するかの間で無関心になる。
- さらに、利用可能な取引戦略のセットΘは、事前にあらゆる種類の制約をモデル化できる。
- たとえば、エージェントが市場のすべての資産を制約なしで取引できる場合はΘ：= Rd、何らかの理由でエージェントが一部の資産を取引できない場合はΘ：= Rm（m <dの場合）と見なすことができる。
- ボリュームの制約が課せられている場合、セットΘも制限される可能性がある。
- 原則として、Θを適切にモデリングすることにより、資産プロセスのすべてのコンポーネントが市場の資産である必要はなく、デリバティブもいくつかの外部要因に依存する可能性があることに注意。
- ファクター（ζk）k∈Nはiidであるため、1つの取引期間のアスク価格ah、x（f）は、方程式によって完全に決定される。
- ここで、取引調整済みリスク関数は、によって与えられる。
- さらに、決定論的な数ah、x（f）∈Rに現金不変性を適用することにより、1ステップ価格設定オペレーターは、すべてのf∈Cbおよびx∈Rdに対して、によって与えられる。
- セクション3.1で指定されている妥当な仮定の下で、I（h）：Cb→Cbを示すことができるため、サブセクション2.3で説明したように、時間整合性のあるマルチステップ価格設定オペレーターは、すべてのk∈Nに対して、によって与えられる。
- サブセクション2.2の最悪の場合の資産ダイナミクスと同様に、中間取引期間の数が無限大になるにつれて、アスク価格の限界挙動に興味がある。
- t≥0およびすべてのn∈Nに対してhn：= t / nとする。
- 次に、限界は、によって与えられる。

Discrete approximation of risk-based prices under volatility uncertainty