全球化的不精確半光滑牛頓法求解涉及變分不等式的非光滑定點方程

Temel Kavramlar

本文提出了一個半光滑牛頓框架,用於數值求解在巴納赫空間中的定點方程,特別關注涉及變分不等式的障礙型準變分不等式。該框架允許不精確的函數評估和牛頓步驟,並在滿足一定收縮假設的情況下,可以通過巴納赫定點定理進行全局化,並保證任意初始值下的q超線性收斂。

Özet

本文提出了一個半光滑牛頓框架,用於數值求解在巴納赫空間中的定點方程,特別關注涉及變分不等式的障礙型準變分不等式。

主要內容包括:

1. 提出了一個標準的不精確半光滑牛頓法算法(Algorithm 1),並證明了其局部收斂性。

2. 在滿足全局收縮假設的情況下,提出了一個全局收斂的不精確半光滑牛頓法算法(Algorithm 2),並證明了其有限收斂性和q超線性收斂性。

3. 通過引入投影到一個閉凸集上,將收縮假設局部化,從而可以處理多解的情況。這種局部化技術使得算法能夠精確地確定解是否存在於某個集合中,並在存在的情況下以超線性速度確定解。

4. 證明了障礙型準變分不等式可以被歸結為上述形式的定點方程,從而可以應用所開發的理論框架。

5. 對於由半線性橢圓偏微分方程引起的非光滑障礙映射,也證明了其滿足所需的光滑性假設。

6. 還討論了隱式障礙型變分不等式的情況,表明所開發的理論同樣適用。

總的來說,本文為求解障礙型準變分不等式提供了一個有效的數值框架,具有超線性收斂性和網格獨立性。

İstatistikler

無

Alıntılar

無

Önemli Bilgiler Şuradan Elde Edildi

A Globalized Inexact Semismooth Newton Method for Nonsmooth Fixed-point Equations involving Variational Inequalities

by Amal... : arxiv.org 10-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2409.19637.pdf

Daha Derin Sorular

如何在實際應用中確定滿足全局收縮假設的參數γ?這對算法的實際性能有何影響?

在實際應用中，確定滿足全局收縮假設的參數γ通常需要依賴於對映射H的性質進行詳細分析。具體來說，可以通過以下幾個步驟來確定γ的值：

理論分析：首先，對映射H進行理論分析，確定其在特定區域內的Lipschitz性質。這通常涉及到計算H的導數，並確保其在所考慮的區域內是有界的。

數值實驗：進行數值實驗以觀察H的行為。通過對不同初始值的迭代，觀察收斂速度和收斂性質，從而估計γ的值。

參數調整：在實際應用中，可能需要根據具體問題的特性調整γ的值。這可以通過反覆試驗來實現，特別是在面對不確定性或數據噪聲的情況下。

確定γ的值對算法的實際性能有著重要影響。較小的γ值通常意味著更強的收縮性，這將促進算法的收斂速度，特別是在全局收斂的情況下。然而，過於嚴格的收縮條件可能會導致算法在某些情況下無法收斂。因此，找到一個合適的γ值是平衡收斂速度和算法穩定性的關鍵。

除了投影到閉凸集,是否還有其他方法可以局部化收縮假設,從而擴展算法的適用範圍?

除了投影到閉凸集，還有其他幾種方法可以局部化收縮假設，從而擴展算法的適用範圍：

使用局部Lipschitz條件：可以考慮在特定的局部區域內滿足Lipschitz條件，而不是在整個空間中。這意味著在某些小的區域內，映射H仍然可以被視為收縮映射，這樣可以在不需要全局收縮的情況下進行收斂分析。

引入適應性步長：通過引入適應性步長的策略，可以在每次迭代中根據當前的迭代結果調整步長，這樣可以在某些情況下避免全局收縮的要求。這種方法可以根據當前的殘差來調整步長，以確保收斂。

使用次優解的概念：在某些應用中，可以考慮次優解的存在性，這樣即使在某些區域內不滿足全局收縮條件，仍然可以找到局部的解。這可以通過引入額外的約束或條件來實現。

這些方法的引入不僅可以擴展算法的適用範圍，還可以提高算法在面對複雜問題時的靈活性和穩定性。

本文的理論框架是否可以推廣到更一般的非光滑算子方程,例如最優控制問題的最優性條件?

是的，本文的理論框架可以推廣到更一般的非光滑算子方程，包括最優控制問題的最優性條件。這一推廣的可能性主要基於以下幾個方面：

廣泛的適用性：本文所提出的半光滑牛頓方法和收斂性分析是基於對映射H的牛頓可微性和Lipschitz性質的要求，這些性質在許多非光滑問題中都是可以滿足的。因此，這一框架可以應用於更廣泛的非光滑算子方程。

最優性條件的結構：在最優控制問題中，最優性條件通常涉及到變分不等式或其他類型的非光滑映射。這些條件可以被視為特定形式的固定點方程，因此可以利用本文的理論框架進行分析。

數值方法的靈活性：本文的算法設計考慮了不精確性和局部收縮的情況，這使得它在處理最優控制問題中可能出現的數值不穩定性時具有優勢。

總之，本文的理論框架不僅適用於障礙型準變分不等式，還可以擴展到其他類型的非光滑算子方程，為解決更複雜的最優控制問題提供了有力的工具。