Parametrität durch Kohäsion

Temel Kavramlar

Die Kernaussage dieses Artikels ist, dass Parametrität im Wesentlichen einen modalen Aspekt hat, der eng mit dem kategorietheoretischen Konzept der Kohäsion verbunden ist. Auf dieser Grundlage wird eine allgemeine kategorielle Semantik für modale Parametrität beschrieben und ein entsprechendes Axiomensystem in der abhängigen Typentheorie entwickelt, um solche Parametrität intern darzustellen und zu beweisen.

Özet

Der Artikel beginnt mit einer Einführung in das Konzept der Parametrität, das von Reynolds in Bezug auf das polymorphe λ-Kalkül (System F) entwickelt wurde. Parametrität impliziert eine starke Uniformität und Modularität der Typstruktur in Systemen, die diese Eigenschaft besitzen.

Mit zunehmender Komplexität und Ausdruckskraft von Typentheorien wird es jedoch immer schwieriger, geeignete Parametritätsrelationen für ihre Typen zu definieren und zu beweisen, dass die Bewohner dieser Typen ihre entsprechenden Relationen respektieren. Der Autor argumentiert, dass eine "synthetische" Theorie der Parametrität wünschenswert wäre, die die Anforderungen für Parametrität auf einige wenige Axiome reduziert.

Der Hauptbeitrag des Artikels ist es, zu zeigen, dass das grundlegende Setup der Kohäsion im Wesentlichen alles ist, was benötigt wird, um klassische Parametritätsergebnisse intern in der abhängigen Typentheorie wiederzugewinnen. Dazu wird zunächst das Konzept der Kohäsion in Kategorien und seine Verbindung zur Parametrität erläutert.

Anschließend wird ein Axiomensystem für Typentheorie mit kohäsiven Modalitäten entwickelt, das es ermöglicht, Parametrität intern darzustellen und zu beweisen. Dies wird dann verwendet, um klassische Parametritätstheoreme, wie den Beweis, dass jede polymorphe Funktion vom Typ (X : Set) → X → X äquivalent zur polymorphen Identitätsfunktion ist, zu beweisen.

Schließlich wird gezeigt, wie diese Axiome auch verwendet werden können, um Induktionsprinzipien für höhere induktive Typen aus ihren Rekursoren abzuleiten, was ein wichtiges Problem in der Homotopietypentheorie darstellt.

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Parametricity via Cohesion

by C.B.... : arxiv.org 04-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.03825.pdf

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