Der Artikel untersucht die Beziehungen zwischen den rekursiv definierten Prädikaten der Beweisbarkeit (Pf(x, v)) und der Widerlegbarkeit (Rf(x, v)) in der formalen Arithmetik.
Es wird gezeigt, dass die beiden Prädikate nicht gleichzeitig für eine Formel α gelten können (Lemma 1). Außerdem werden Zusammenhänge zwischen den charakteristischen Funktionen der beiden Prädikate herausgearbeitet (Lemma 2-4).
Diese Erkenntnisse ermöglichen ein tieferes Verständnis der Unvollständigkeit formaler Systeme. Die übliche Argumentation zur Unentscheidbarkeit wird erweitert, indem die Existenzaussagen über Beweise und Widerlegungen genauer analysiert werden. Es zeigt sich, dass Unentscheidbarkeit nicht zwangsläufig aus der Unendlichkeit der Formeln folgt, sondern durch die Wechselbeziehung zwischen Beweisbarkeit und Widerlegbarkeit erklärt werden kann.
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by Paola Cattab... : arxiv.org 04-08-2024
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