基於 Koopman 的隨機系統控制：增強採樣的應用

Temel Kavramlar

本文提出了一種基於數據驅動的方法，利用 Koopman 生成器對控制仿射隨機系統進行預測和最優控制，並通過設計最佳控制策略來加速亞穩態隨機系統中罕見事件的模擬。

Özet

Guo, L., Heiland, J., & Nüske, F. (2024). Koopman-based Control for Stochastic Systems: Application to Enhanced Sampling. arXiv preprint arXiv:2410.09452v1.

本研究旨在探討如何利用 Koopman 生成器對控制仿射隨機系統進行預測和最優控制，並將其應用於加速亞穩態隨機系統中罕見事件的模擬。

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Koopman-based Control for Stochastic Systems: Application to Enhanced Sampling

by Lei ... : arxiv.org 10-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.09452.pdf

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如何將該方法推廣到非控制仿射的隨機系統？

將基於 Koopman 生成器的控制方法推廣到非控制仿射的隨機系統是一個重要的研究方向，主要挑戰在於非線性控制項的存在使得 Koopman 生成器不再具有控制仿射的結構，導致難以推導出類似於式(12)的雙線性常微分方程式。以下列出幾種可能的推廣思路：

線性化近似: 對於控制項非線性程度較弱的系統，可以考慮在工作點附近對控制項進行線性化近似，將其轉化為近似控制仿射的形式，然後應用本文提出的方法。然而，這種方法的精度受限於線性化近似的誤差，特別是在控制輸入較大或系統非線性程度較高的情況下。

核方法: 可以利用核方法將原始狀態空間映射到高維特徵空間，在特徵空間中系統可能呈現出控制仿射的結構。然後，可以應用基於核的 gEDMD 方法來學習 Koopman 生成器的近似，並設計控制器。這種方法的優點是不需要顯式地進行線性化近似，但需要選擇合適的核函數和處理高維特徵空間帶來的計算複雜度。

深度學習: 近年來，深度學習方法在處理非線性系統方面展現出強大的能力。可以考慮使用深度神經網絡來逼近 Koopman 生成器或直接學習最優控制策略。例如，可以使用深度強化學習方法，通過與環境互動學習最優控制策略，而不需要顯式地建模系統動力學。

需要根據具體的應用場景和系統特性選擇合適的推廣方法。

是否存在其他更有效的增強採樣方法？

除了基於 Koopman 生成器的控制方法外，還有許多其他有效的增強採樣方法，以下列舉幾種常見的方法：

傘狀採樣 (Umbrella Sampling): 通過引入一系列偏置勢能函數，將採樣引導到高能量區域，然後通過加權直方圖分析方法消除偏置，得到無偏的自由能信息。

元動力學 (Metadynamics): 在模擬過程中，通過不斷地在自由能表面上添加高斯勢能函數來填充自由能盆地，從而加速系統跨越自由能垒的過程。

溫度副本交換分子動力學 (Temperature Replica Exchange Molecular Dynamics): 同時模擬多個不同溫度的系統副本，並定期嘗試交換不同副本的構象，從而提高系統在構象空間中的探索效率。

非平衡方法 (Non-equilibrium Methods): 通過施加外部力或約束條件，將系統驅動到目標狀態，然後分析非平衡軌跡來獲取系統的動力學信息。

這些方法各有優缺點，適用於不同的應用場景。例如，傘狀採樣適用於研究兩個狀態之間的轉變路徑，而元動力學則更適合於探索複雜的自由能表面。選擇合適的增強採樣方法需要考慮具體的科學問題、系統特性以及計算資源等因素。

如何利用該方法來解決實際應用中的問題，例如藥物設計和材料科學？

基於 Koopman 生成器的控制方法在藥物設計和材料科學等領域具有廣闊的應用前景，以下列舉幾個例子：
藥物設計:

藥物分子與靶標蛋白結合過程的模擬: 可以利用該方法設計控制策略，加速藥物分子與靶標蛋白的結合過程，從而提高藥物篩選的效率。

藥物分子構象轉變的加速: 可以利用該方法設計控制策略，加速藥物分子在不同構象之間的轉變，從而更全面地探索藥物分子的構象空間，找到更優的藥物分子結構。

材料科學:

材料微觀結構演化的模擬: 可以利用該方法設計控制策略，加速材料微觀結構的演化過程，例如晶體生長、缺陷形成等，從而更深入地理解材料的微觀結構與宏觀性能之間的關係。

新材料設計與優化: 可以利用該方法設計控制策略，引導材料的微觀結構向著 desired 的方向演化，例如提高材料的強度、韌性等，從而加速新材料的設計與優化。

總之，基於 Koopman 生成器的控制方法為解決藥物設計和材料科學等領域的複雜問題提供了一種新的思路，具有重要的理論意義和應用價值。隨著該方法的進一步發展和完善，相信其將在更多領域發揮重要作用。