可提升自相似群與尺度群

核心概念

本文闡述了局部域的等距群和膨脹群如何嵌入到規則樹的自同構群中，並介紹了可提升自相似群的概念，作為構造尺度群的新方法。

摘要

標題：可提升自相似群與尺度群
作者：Rostislav Grigorchuk 與 Dmytro Savchuk
發表日期：2024 年 11 月 21 日
出處：arXiv:2312.05427v2 [math.GR]

本研究旨在探討哪些群可以通過自同構作用於局部有限無限樹，並以此深入了解局部域的等距群和膨脹群的子群，以及尺度群的特性。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Liftable self-similar groups and scale groups

by Rostislav Gr... 於 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.05427.pdf

深入探究

如何將本文結果推廣到更一般的度量空間和自相似結構？

本文主要探討了局部域及其整數環的等距群和膨脹群如何嵌入到正則樹的自同構群中，並藉此構造尺度群。推廣這些結果到更一般的度量空間和自相似結構是一個很有意義的研究方向，以下列出一些可能的思路：

推廣局部域和樹的聯繫: 局部域的結構和樹形結構有著密切的聯繫。可以嘗試將這種聯繫推廣到更一般的度量空間，例如考慮具有樹形分解的度量空間，或者具有類似於局部域的層次結構的度量空間。
推廣自相似群的概念: 自相似群是作用在樹上的特殊群，其特點是保持樹的層次結構。可以嘗試將自相似群的概念推廣到作用在更一般的度量空間上的群，例如要求這些群保持度量空間的某種分解結構。
構造新的尺度群: 尺度群是正則樹自同構群的特殊子群，具有良好的拓撲和代數性質。可以嘗試利用更一般的度量空間和自相似結構來構造新的尺度群，例如考慮那些保持度量空間某種自相似結構的群的閉包。

具體來說，可以考慮以下幾個具體問題：

如何將局部域的膨脹的概念推廣到更一般的度量空間？
如何定義作用在更一般的度量空間上的自相似群？
如何利用這些推廣的概念來構造新的尺度群？
這些新的尺度群具有哪些特殊的性質？
這些問題的解決將有助於我們更深入地理解尺度群的結構和性質，並為研究更一般的度量空間和自相似結構提供新的工具和方法。

是否存在不滿足可提升性的自相似群，其升階 HNN 擴張的閉包也能形成尺度群？

这是一个很有意思的问题。目前文章主要关注可提升的自相似群，并通过其升阶 HNN 扩张构造尺度群。文章尚未提供不满足可提升性的自相似群的例子，但以下是一些可能的思考方向：

放寬可提升性的定義: 可提升性要求存在一個從群到其子群的提升同態。可以嘗試放寬這個定義，例如允許提升映射到一個同構的群，或者允許提升映射到一個更大的群。
尋找新的構造尺度群的方法: 除了升阶 HNN 扩张，还可以尝试寻找其他的构造尺度群的方法，例如利用群的融合积或半直积。
研究尺度群的等价刻画: 尺度群可以通过多种方式进行刻画，例如作为正则树自同构群的闭包，或者作为满足特定条件的拓扑群。可以尝试利用这些等价刻画来寻找不满足可提升性的自相似群，但其升阶 HNN 扩张的闭包仍然是尺度群的例子。

总而言之，这个问题的答案目前尚不清楚，需要进一步的研究和探索。

尺度群的哪些特性可以應用於其他數學領域，例如動力系統、算子代數等？

尺度群作为一类特殊的拓扑群，具有丰富的性质，可以应用于其他数学领域，例如：
1. 動力系統:

分形几何: 尺度群自然作用在正则树上，而正则树本身就是一种分形结构。尺度群的动力学性质可以用来研究分形几何中的问题，例如分形集的维数、测度和拓扑性质。
遍历理论: 尺度群作用在正则树的边界上的测度保持变换，可以用来研究遍历理论中的问题，例如遍历定理、熵和混合性。
2. 算子代數:

C-代数:* 可以将尺度群表示为 C*-代数上的自同构群，并利用 C*-代数的理论来研究尺度群的结构和表示理论。
冯·诺依曼代数: 尺度群可以用来构造有趣的冯·诺依曼代数，例如群冯·诺依曼代数和 crossed product 代数。
3. 其他领域:

几何群论: 尺度群可以看作是几何群论中研究的“非正曲率”群的例子，可以用来研究几何群论中的问题，例如群的增长、拟等距刚性和边界理论。
概率论: 尺度群上的随机游走是一个活跃的研究领域，可以用来研究概率论中的问题，例如随机游走的渐进行为、hitting time 和 harmonic 函数。
总而言之，尺度群的特殊性质使其在动力系统、算子代数以及其他数学领域都有着广泛的应用前景。