多尺度有限元法与隐显式方案结合求解非平稳Stokes-Darcy模型

核心概念

本文提出了一种基于多尺度有限元法和隐显式方案的算法,用于求解具有多尺度特性的非平稳Stokes-Darcy模型。该算法首先在Darcy区域并行计算多尺度基函数,然后基于这些多尺度基函数采用隐显式方案求解Stokes-Darcy方程。该算法可以在相对较粗的网格上求解问题,大幅降低了计算成本,同时相比于标准有限元方法在相同网格尺度下具有更高的精度。

摘要

本文研究了具有多尺度特性的非平稳Stokes-Darcy模型的数值求解方法。主要内容如下:

1. 引入了Stokes-Darcy耦合模型,其中Darcy区域的渗透系数呈现多尺度特性。

2. 提出了一种基于多尺度有限元法和隐显式方案的算法(MsFEM-ImEx)来求解该模型。该算法分两步进行:

   • 首先在Darcy区域并行计算多尺度基函数。
   • 然后基于这些多尺度基函数,采用隐显式方案求解Stokes-Darcy方程。

3. 该算法可以在相对较粗的网格上求解问题,大幅降低了计算成本,同时相比于标准有限元方法在相同网格尺度下具有更高的精度。

4. 在假设渗透系数是周期性函数且与时间无关的条件下,证明了该算法的稳定性和收敛性。

5. 通过三个数值实验验证了该算法的合理性和有效性,数值结果与理论分析一致。

統計資料

∥uN
h ∥2
0 + ∥ϕN
h ∥2
0 +
N−1
X
n=0
(∥un+1
h
− un
h∥2
0 + ∥ϕn+1
h
− ϕn
h∥2
0) + C1ν∆t
2
∥uN
h ∥2
1 + λmin∆t
2S0
∥ϕN
h ∥2
1
≤ C(T)( C2
p
3C1ν ∆t
N−1
X
n=0
∥fn+1
f
∥2
0 +
‹
C2
p
S0λmin
∆t
N−1
X
n=0
∥f n+1
p
∥2
0

∥u0∥2
0 + ∥ϕ0∥2
0 + C1ν∆t
2
∥u0∥2
1 + λmin∆t
2S0
∥ϕ0∥2

引述

无

從以下內容提煉的關鍵洞見

Finite element method coupled with multiscale finite element method for the non-stationary Stokes-Darcy model

by Yachen Hong,... 於 arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.11600.pdf

深入探究

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在本文的框架下引入更复杂的界面条件，如考虑界面的不确定性，可以通过将不确定性建模为随机变量，并将随机变量的影响考虑在内。这可以通过引入概率论和统计学的概念来处理。例如，可以使用随机有限元方法来处理界面条件的不确定性，通过考虑不同的界面条件的概率分布来评估解的稳定性和可靠性。

本文的方法是否可以应用于其他类型的耦合问题,如Stokes-Biot模型

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