G範疇奇異支撐的 Whittaker 模型表徵及其應用

核心概念

本文針對配備有約化群 G 作用的雙可化 DG 範疇，發展出一種奇異支撐的概念，並探討其與廣義 Whittaker 模型之間的關係，最終應用於 W 代數有限維模的分類問題。

摘要

書目信息
Dhillon, G., & Færgeman, J. (2024). Singular support for G-categories. arXiv preprint arXiv:2410.18360.
研究目標
本研究旨在為配備有約化群 G 作用的雙可化 DG 範疇建立一種奇異支撐的概念，並探討其與廣義 Whittaker 模型之間的關係。此外，研究還將這些概念應用於 W 代數有限維模的分類問題。
方法
研究採用表示論和微局部分析的方法，特別是利用了奇異支撐、D 模理論、Whittaker 模型和特徵層等工具。
主要發現

研究為配備有約化群 G 作用的雙可化 DG 範疇引入了奇異支撐的概念，並證明了其若干性質，例如在拋物歸納和限制函子下的行為。
研究建立了奇異支撐與廣義 Whittaker 模型之間的聯繫，證明了當且僅當一個冪零軌道不包含在範疇的奇異支撐中時，其廣義 Whittaker 模型才會消失。
研究證明了廣義 Whittaker 模型的 Hochschild 同調與其特徵層在該軌道上的微 stalk 一致。
基於上述結果，研究給出了 W 代數有限維模分類定理的新證明，將其（有理化）Grothendieck 群實現為 Springer 表示的某個子表示。
主要結論
本研究為配備有約化群 G 作用的雙可化 DG 範疇的表示論提供了新的見解，特別是揭示了奇異支撐和廣義 Whittaker 模型之間的密切關係。這些結果為進一步研究這些範疇的結構和性質奠定了基礎，並為 W 代數表示論提供了新的工具和視角。
研究意義
本研究推廣了 p 進表示論中的經典結果，為研究配備有約化群 G 作用的雙可化 DG 範疇提供了新的方法和工具。這些結果對於理解表示論的幾何和範疇方面具有重要意義，並可能在其他數學領域和物理學中找到應用。
局限性和未來研究方向

本研究主要關注冪零 G 範疇，未來可以探討更一般的 G 範疇的奇異支撐和 Whittaker 模型。
研究中的一些結果依賴於表示論的特定技術，未來可以探索更直接或更幾何的證明方法。
可以進一步研究本研究結果在其他數學領域和物理學中的應用，例如量子場論和可積系統。

統計資料

從以下內容提煉的關鍵洞見

Singular support for G-categories

by Gurbir Dhill... 於 arxiv.org 10-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.18360.pdf