核心概念
本文探討如何利用邊際變分距離序列來估計兩個乘積測度之間的變分距離。我們提出了一個更緊密的下界估計,將上下界之間的差距從 n 縮小到 √n。此外,我們證明任何基於邊際變分距離序列的估計在最壞情況下都必須展現 ∼√n 的上下界差距,這表明我們的估計是最優的。最後,我們確定了一個自然的分佈類別,其中 ∥δ∥2 可以近似地表示變分距離,最多只有絕對常數倍的誤差。
摘要
本文探討了如何利用邊際變分距離序列來估計兩個乘積測度之間的變分距離。主要結果如下:
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我們提出了一個更緊密的下界估計,將上下界之間的差距從 n 縮小到 √n。具體來說,我們證明了 ∥Ber(p) - Ber(q)∥TV ≥ c min{1, ∥δ∥2}。
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我們證明了任何基於邊際變分距離序列的估計在最壞情況下都必須展現 ∼√n 的上下界差距,這表明我們的估計是最優的。
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我們確定了一個自然的分佈類別,其中 ∥δ∥2 可以近似地表示變分距離,最多只有絕對常數倍的誤差。
這些結果不僅提高了我們對變分距離張量化的理解,也為實際應用提供了有價值的洞見。
統計資料
變分距離的定義: ∥P - Q∥TV = 1/2 ∑ω∈Ω |P(ω) - Q(ω)|。
邊際變分距離序列的定義: δ(Pi∈[n], Qi∈[n]) = (∥P1 - Q1∥TV, ∥P2 - Q2∥TV, ..., ∥Pn - Qn∥TV)。
乘積測度的變分距離的上下界: ∥δ∥∞ ≤ ∥P⊗1:n - Q⊗1:n∥TV ≤ min{1, ∥δ∥1}。
本文提出的更緊密的下界: ∥P⊗1:n - Q⊗1:n∥TV ≥ c min{1, ∥δ∥2}。
引述
"計算兩個 n 重乘積分佈的變分距離通常很困難。"
"任何基於邊際變分距離序列的估計在最壞情況下都必須展現 ∼√n 的上下界差距。"