考慮變數誤差的直接數據驅動分析和控制的系統參數化

核心概念

本文提出了一種新的系統參數化方法，用於在存在變數誤差的情況下進行直接數據驅動分析和控制器綜合。

摘要

論文資訊

Br¨andle, F., & Allg¨ower, F. (2024). A System Parametrization for Direct Data-Driven Analysis and Control with Error-in-Variables. arXiv:2411.06787v1 [eess.SY].

研究目標

本研究旨在開發一種新的系統參數化方法，以解決在變數誤差存在的情況下，直接數據驅動分析和控制器綜合所面臨的挑戰。

方法

• 本文利用 Sherman-Morrison-Woodbury 公式將問題轉換為具有未知測量誤差和干擾作為不確定性的線性分數變換 (LFT)。
• 對於有界不確定性，應用魯棒控制技術來推導未知真實系統的 H2-範數的保證上限。
• 利用信噪比來提供數據依賴條件，以表徵所提出的參數化是否可以使用。

主要發現

• 本文提出的參數化方法能夠準確地描述與數據一致的所有系統矩陣。
• 該方法僅需解決單個半定規劃 (SDP) 問題，其複雜度與數據量無關。
• 模組化公式允許將此框架擴展到具有不同性能標準、輸入輸出設置和各種系統屬性的控制器綜合。

主要結論

本文提出的系統參數化方法為在存在變數誤差的情況下進行直接數據驅動分析和控制提供了一種有效且通用的方法。

意義

這項研究通過提供一種處理測量誤差的系統方法，對數據驅動控制領域做出了貢獻，從而增強了此類控制策略的可靠性和實用性。

局限性和未來研究

• 未來研究可以探索減少測量誤差和干擾引入的不確定性大小的方法。
• 研究如何選擇最佳的右逆矩陣 G 以最小化保守性也是一個有前景的方向。

統計資料

本文使用了不同數據長度 N ∈[n+mp +1, 300] 進行模擬。
干擾 ˜d 的界限為 ¯d = 0.01。
測量誤差的界限為 ¯vx = ¯vZp = 5 · 10−4。

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

A System Parametrization for Direct Data-Driven Analysis and Control with Error-in-Variables

by Feli... 於 arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.06787.pdf

深入探究

如何將此參數化方法擴展到非線性系統？

將此參數化方法擴展到非線性系統主要有以下幾種思路：

非線性回歸模型: 可以將線性回歸模型 (5) 替換為非線性回歸模型，例如：

使用核函數方法將數據映射到高維空間，然後在高維空間中進行線性回歸。
使用神經網絡等非線性模型來擬合數據。
將非線性系統在工作點附近進行線性化，然後應用此參數化方法。

非線性 LFT 表示: 可以嘗試使用非線性 LFT (NLFT) 來表示非線性系統。NLFT 可以看作是 LFT 的推廣，它可以用來表示更廣泛的非線性系統。

基於數據的非線性系統辨識: 可以使用基於數據的方法來辨識非線性系統的模型，例如使用動態模式分解 (DMD) 或其變體來提取非線性系統的動態信息。

需要注意的是，將此參數化方法擴展到非線性系統會帶來一些挑戰：

非線性系統的分析和控制比線性系統更加複雜。
非線性 LFT 的理論和應用尚不成熟。
基於數據的非線性系統辨識方法通常需要大量的數據，並且可能難以保證辨識結果的準確性。

如果信噪比較低，此方法的性能如何？

如果信噪比較低，此方法的性能會受到影響，主要體現在以下幾個方面：

數據信息不足: Assumption 1 要求數據矩陣 X 滿秩，即數據需要包含足夠的信息來辨識系統。低信噪比會導致數據信息不足，難以滿足 Assumption 1，從而無法應用此方法。

誤差放大: 低信噪比會導致測量誤差和擾動被放大，使得參數化結果的準確性下降。如圖 1 所示，當數據量較小時，計算得到的 H2-範數上界與真實值的誤差較大，這就是因為誤差被放大的結果。

SDP 求解困難: 低信噪比會導致 SDP 問題的求解更加困難，甚至可能無法找到可行解。

為了解決低信噪比帶來的問題，可以考慮以下方法：

提高數據質量: 盡可能地提高數據採集的精度，降低測量誤差和擾動的影響。
增加數據量: 採集更多的數據可以彌補單個數據點信息不足的問題，提高參數化結果的準確性。
引入先驗知識: 利用系統的先驗知識來約束參數化的結果，例如系統的穩定性、輸入輸出範圍等。
使用更魯棒的控制方法: 針對低信噪比的情況，設計更魯棒的控制器，例如 H∞ 控制、滑模控制等。

數據驅動控制方法的發展如何影響控制理論和應用的未來？

數據驅動控制方法的發展正在深刻地影響著控制理論和應用的未來，主要體現在以下幾個方面：

打破傳統模型的限制: 傳統的基於模型的控制方法需要建立精確的數學模型，這在許多複雜系統中非常困難。數據驅動控制方法可以直接利用數據來設計控制器，無需建立精確的數學模型，為複雜系統的控制提供了新的思路。

推動控制理論的發展: 數據驅動控制方法的發展也推動了控制理論的發展，例如：

發展新的系統辨識方法，從數據中提取系統的動態信息。
發展新的穩定性分析和控制器設計方法，以處理數據驅動控制方法中的不確定性。
發展新的學習和優化算法，以提高數據驅動控制器的性能。

拓展控制應用的領域: 數據驅動控制方法可以應用於更廣泛的領域，例如：

機器人控制：利用數據驅動控制方法可以讓機器人學習複雜的動作，適應不同的環境。
過程控制：利用數據驅動控制方法可以優化生產過程，提高產品質量和生產效率。
智能交通：利用數據驅動控制方法可以優化交通流量，減少交通擁堵。

總之，數據驅動控制方法為控制理論和應用帶來了新的機遇和挑戰。隨著數據量的不断增加和計算能力的不断提高，數據驅動控制方法將在未來發揮越來越重要的作用。