核心概念
本文探討了兩種基於乘法封閉數字集的特殊位置計數系統,它們允許對高斯整數和艾森斯坦整數進行高效的加法和乘法運算,並分析了這些系統中最佳表示法的數量和特徵。
摘要
本文深入探討了兩種用於表示複數的高效位置計數系統。這兩種系統都基於乘法封閉的數字集,允許進行高效的加法和乘法運算。
第一種系統
使用基數 β = ı−1 和數字集 D = {0, ±1, ±ı}。
每個非零高斯整數 x 都具有無限多種表示法。
本文重點關注 x 的最佳表示法,即具有最少非零位數的表示法。
x 的最佳表示法之一是所謂的 3-非相鄰形式 (3-NAF)。
本文提供了 x 的不同最佳表示法數量的上限,該上限取決於 x 的 3-NAF 中非零位數的數量。
本文還描述了達到上限的高斯整數的特徵。
第二種系統
使用基數 β = ω −1 和數字集 D = {0, ±1, ±ω, ±ω2},其中 ω = exp(2πı/3)。
每個艾森斯坦整數都有一個 2-NAF,它是最佳的。
主要貢獻
比較了兩種系統在表示複數時非零位數密度的差異,表明第一種系統在這一方面略具優勢。
針對這兩種計數系統,推導出了一個矩陣公式,用於計算高斯整數和艾森斯坦整數的最佳表示法數量。
提供了一個關於最佳表示法數量上限的證明,該上限取決於 W-NAF 表示法中非零位數的數量。
提出了一個圖形化方法,通過隨機遊走的方式,從 W-NAF 表示法開始,為高斯整數生成最佳表示法。
結論
本文的研究結果可以看作是 Grabner 和 Heuberger 針對帶符號二進制計數系統(使用基數 β = 2 和數字集 D = {0, ±1})所得結果的類比。
統計資料
β = ı −1
D = {0, ±1, ±ı}
β = ω −1
D = {0, ±1, ±ω, ±ω2}
ω = exp(2πı/3)
f̸=0(β, D) = 1/4 (對於 β = ı −1 和 D = {0, ±1, ±ı})
f̸=0(β, D) = 2/5 (對於 β = ω −1 和 D = {0, ±1, ±ω, ±ω2})