E3x：讓 E(3) 等變深度學習變得簡單

核心概念

E3x 是一個基於 Flax 的軟體套件，旨在簡化構建 E(3) 等變神經網路的過程，使其更加直觀和易於使用。

摘要

E3x：讓 E(3) 等變深度學習變得簡單

這篇文章介紹了 E3x，這是一個用於構建關於三維空間的歐幾里得群 E(3) 等變神經網路的軟體套件，E(3) 包含了平移、旋轉和反射。與普通神經網路相比，E(3) 等變模型在輸入和/或輸出數據與三維物件相關聯時具有優勢。這是因為這些數量的數值（例如位置）通常取決於所選的坐標系。在參考坐標系變換下，這些數值會發生可預測的變化，但對於普通的機器學習模型來說，這些變化背後的規則可能難以學習。而內建 E(3) 等變性的神經網路可以保證精確滿足相關的變換規則，從而提高數據效率和準確性。

等變性的概念

當我們想要用數字來描述空間中的一些幾何物件（例如點的集合或質量的分佈）時，我們需要選擇一個參考點作為原點，並在 x、y 和 z 方向上選擇一組正交基向量。這就定義了一個坐標系，它將物理空間中的點與 ℝ³ 中的數學點一一對應起來。然而，這個坐標系的選擇通常是任意的，我們也可以使用它的任何旋轉（或平移）版本。當我們使用機器學習模型處理幾何物件以提取分類或數值（對於迴歸任務）時，結果通常不應該依賴於我們對坐標系的選擇，因此它應該在平移、旋轉和（取決於任務）反射下保持不變。

E3x 的優勢

在過去幾年中，等變機器學習模型已成功應用於許多不同的領域，例如電腦視覺、網格重建和量子化學。然而，實現等變運算並不容易，而且可能難以與現有的神經網路構建塊相協調。在實務中，這通常意味著設計普通神經網路所獲得的直覺和技能無法應用於構建等變模型，而且可能難以將現有的模型架構調整為等變版本。E3x 的目標是通過以下方式使等變模型的構建變得直觀和簡單：將特徵和神經網路構建塊推廣到等變，並允許將普通特徵和神經網路行為作為一種極限情況來恢復。

E3x 的數學基礎

E3x 的理論基礎是群論和表示論。群論研究的是對稱性的數學，而表示論研究的是群在向量空間上的作用。E3x 使用這些數學工具來構建關於 E(3) 等變的神經網路。

E3x 的實現

E3x 的程式碼可以在 https://github.com/google-research/e3x 找到，詳細的文檔和使用範例可以在 https://e3x.readthedocs.io 找到。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

E3x: $\mathrm{E}(3)$-Equivariant Deep Learning Made Easy

by Oliver T. Un... 於 arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2401.07595.pdf

深入探究

E3x 如何與其他等變深度學習庫（例如 SE(3)-Transformer）進行比較？

E3x 和 SE(3)-Transformer 都是為處理三維數據而設計的等變深度學習庫，但它們在設計理念和應用場景上有所不同。
E3x

設計理念： E3x 的核心設計理念是將歐幾里得群 E(3) 的等變性融入神經網路的構建模塊中。它通過將特徵和神經網路構建模塊推廣到等變形式，使得構建等變模型變得直觀和簡單。
優勢：

使用方便，易於與現有的神經網路架構整合。
能夠處理包含平移、旋轉和反射的完整歐幾里得變換。

限制：

主要關注於 E(3) 等變性，對於其他群體的等變性支持有限。
可能不適合處理具有複雜幾何結構或長程交互作用的數據。
SE(3)-Transformer

設計理念： SE(3)-Transformer 將特殊歐幾里得群 SE(3) 的等變性融入 Transformer 架構中，特別適用於處理三維點雲數據。它利用球面調和函數和 Clebsch-Gordan 係數來構建等變的自注意力機制。
優勢：

擅長處理點雲數據，能夠捕捉點之間的空間關係。
可以通過自注意力機制學習長程交互作用。

限制：

主要關注於 SE(3) 等變性，不包括反射變換。
相比於傳統的卷積神經網路，計算量更大。
總結：

對於需要處理包含反射變換的數據，E3x 是更合適的選擇。
對於需要處理點雲數據並捕捉長程交互作用，SE(3)-Transformer 是更合適的選擇。

E(3) 等變神經網路是否適用於所有類型的三維數據，或者是否存在某些限制？

雖然 E(3) 等變神經網路在處理許多三維數據任務中表現出色，但它們並非適用於所有類型的三維數據。以下列舉了一些限制：

數據結構： E(3) 等變性最適合處理具有規則結構的數據，例如三維網格或規則體素網格。對於具有不規則結構的數據，例如點雲或圖，可能需要採用其他等變方法或預處理步驟。
變換類型： E(3) 等變性僅考慮了剛性變換，即平移、旋轉和反射。對於涉及非剛性變換的任務，例如形狀變形或流體模擬，E(3) 等變性可能不夠充分。
計算成本： 與傳統的神經網路相比，構建和訓練 E(3) 等變神經網路的計算成本更高。這是因為等變操作通常涉及更高維度的張量計算。
總之，在選擇 E(3) 等變神經網路時，需要考慮數據結構、任務需求和計算資源等因素。

如果我們將 E(3) 等變性推廣到更高維度的空間，會有哪些潛在的應用？

將 E(3) 等變性推廣到更高維度的空間，例如 E(n) 等變性，可以為處理高維數據開闢新的可能性。以下列舉了一些潛在的應用：

高維數據分析： 在許多科學和工程領域，例如基因組學、蛋白質組學和金融，數據通常具有很高的維度。E(n) 等變神經網路可以幫助我們從這些數據中提取有意義的資訊，同時保持對高維空間中變換的不變性。
機器人控制： 控制機器人在高維空間中的運動需要處理大量的感測器數據和運動參數。E(n) 等變神經網路可以學習更有效和穩健的控制策略，同時對機器人和環境的空間配置保持不變性。
物理模擬： 許多物理現象，例如流體動力學和電磁學，可以用高維偏微分方程描述。E(n) 等變神經網路可以學習這些方程的解，並對空間旋轉、平移和反射等變換保持不變性。
總之，將 E(3) 等變性推廣到更高維度的空間具有廣泛的應用前景，可以促進高維數據分析、機器人控制和物理模擬等領域的發展。