本文首先回顧了全純對應迭代和有理映射迭代的均勻分佈性方面的已有研究成果。作者引用了 Lyubich、Boyd、Dinh-Kaufmann-Wu 和 Lonjou 等人的研究,這些研究表明在一定條件下,有理映射或全純對應的迭代會收斂到一個不變測度,並且該測度的支撐集與動力系統的不變集密切相關。
本文主要研究了一類由雙變量多項式 Rδ(z, w) = R0(w) + δP(z, w) 定義的全純對應 Fδ,其中 R0(w) 是一個只有單根的 d 次多項式,P(z, w) 是一個總次數不超過 d 的多項式,δ 是一個小參數。
定理 A: 對於任意給定的 R0(w) 和 P(z, w),存在一個正數 ∆,使得當 |δ| < ∆ 時,存在一個概率測度 µFδ 滿足以下性質:
定理 B: 考慮一個非退化的線性微分算子 T,其最高階係數 Qk(w) 的零點都是單根。那麼對於任意 ǫ > 0,存在一個正整數 N,使得當 n ≥ N 時,由 T 定義的全純對應 Tn 滿足以下性質:
本文的結果將全純對應迭代的均勻分佈性與哈欽森不變集的結構聯繫起來,為研究更一般的動力系統的迭代行為提供了新的思路和方法。
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