本文旨在探討四維開放書的結構,並利用 Kirby 圖解這一工具進行研究。開放書分解是一種將封閉流形分解為更簡單的組成部分的方法,對於研究流形的拓撲性質具有重要意義。Kirby 圖解則是一種描述四維流形的方式,通過記錄把手體的黏合方式來表示流形的結構。
文章首先介紹了「半開放書」的概念,並給出了一種基於 Heegaard 圖解構造半開放書 Kirby 圖解的算法(算法 3.7)。接著,通過在半開放書的 Kirby 圖解上添加一個帶框的環鏈,文章提出了一種構造任意四維開放書 Kirby 圖解的算法(算法 4.4)。
利用算法 4.4,文章證明了任何具有平凡單值形的開放書都微分同胚於以穿孔柄體為頁面、環面扭曲和球面扭曲的組合為單值形構造的開放書(定理 7.2)。這一結果表明,即使是具有簡單單值形的開放書,也可以通過選擇適當的頁面和單值形來構造出複雜的四維流形。
文章通過一系列實例展示了算法的應用,包括:
本文提供了一種系統地研究四維開放書的方法,並為進一步探索開放書的性質和應用奠定了基礎。
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