核心概念
本文旨在探討圖的結構如何影響其加權拉普拉斯矩陣的費德勒向量,並針對樹和環這兩種圖結構,刻畫了所有可能的費德勒向量或對應特徵值的特征向量。
摘要
本文研究了給定圖的結構如何控制不同加權拉普拉斯矩陣的可能費德勒向量。對於給定的樹,我們刻畫了其加權拉普拉斯矩陣中所有可能的費德勒向量。作為應用,我們證明了樹的特徵集可以是樹上的任何位置,除了包含單個葉子的集合。對於給定的環,我們刻畫了對應於第二或第三最小特徵值的所有可能的特征向量。
1. 介紹
費德勒向量被廣泛應用於圖分割、圖繪製、譜聚類和尋找特徵集等領域。本文研究了圖的逆費德勒向量問題:給定一個圖 G,SL(G) 中矩陣的可能費德勒向量是什麼?
1.1 預備知識
文章首先介紹了加權圖、加權拉普拉斯矩陣、費德勒向量、特徵集等基本概念,並回顧了它們的一些已知性質。
2. 樹的逆費德勒向量問題
這一節完整解決了當圖為樹時問題 1.1。我們將證明這些條件足以刻畫 SL(T) 中所有矩陣的費德勒向量。
2.1 Dirichlet 矩陣及其 Perron 向量
文章介紹了 Dirichlet 矩陣的概念,並重點討論了邊界為葉子的樹的 Dirichlet 矩陣。文章證明了 Dirichlet 矩陣的 Perron 向量具有嚴格遞增的性質,並給出了根據 Perron 向量構造 Dirichlet 矩陣的方法。
2.2 加權拉普拉斯矩陣和費德勒向量
利用 2.1 節的結果,文章給出了根據費德勒向量構造加權拉普拉斯矩陣的算法,並證明了算法的正確性。
2.3 完整解
在這一小節中,我們將證明算法 2.13 和 2.19 生成了所有可能的解。