基於擴展克雷洛夫子空間和頻率感知收斂準則的大規模 RLCk 模型降階的低秩平衡截斷方法

核心概念

本文提出了一種基於擴展克雷洛夫子空間和頻率感知收斂準則的低秩平衡截斷方法，用於大規模 RLCk 模型降階，有效解決了傳統平衡截斷方法的計算量問題，並在保持精度的同時生成了更緊湊的降階模型。

摘要

研究背景

• 電磁模型提取對於積體電路 (IC) 的設計和驗證至關重要，但模擬具有數百萬個元件和多個端口的提取 RLCk 模型在計算上非常昂貴。
• 模型降階 (MOR) 可以通過構建捕獲原始系統基本動態的降階模型 (ROM) 來降低此類模型的複雜性，同時保持準確的輸入/輸出端口行為，從而顯著減少模擬時間。

現有方法的局限性

• 矩匹配 (MM) 方法效率高，但需要手動選擇矩的數量，並且 ROM 大小與矩和端口的數量相關，限制了可擴展性。
• 平衡截斷 (BT) 為逼近誤差提供了明確的理論界限，並且與端口數量無關，但由於求解李雅普諾夫方程的計算複雜度高，因此僅限於小規模模型。

本文提出的方法

• 提出了一種有效的低秩 BT 技術，以解決傳統 BT 方法的主要可擴展性問題。
• 採用擴展克雷洛夫子空間 (EKS) 方法，有效地求解了李雅普諾夫方程，大大降低了 BT 的計算負擔。
• 結合了頻率感知收斂準則，確保在感興趣的頻率範圍內保持準確性。

實驗結果

• 使用從 ANSYS RaptorX™ 提取的各種電路的 RLCk 模型評估了 EKSM。
• 結果表明，EKSM 在所有類型的基準測試中都能生成準確且緊湊的 ROM，最大誤差低於 0.14%。
• 與 RaptorX™ ROM 相比，EKSM 生成的 ROM 平均縮小了 13.2 倍，同時 S 參數的偏差可以忽略不計。

總結

• 本文介紹了一種用於精確簡化大規模 RLCk 模型的替代 MOR 技術。
• 所提出的低秩 BT 方法結合了迭代 EKS 投影方法和頻率感知收斂準則，以生成準確且緊湊的 ROM。
• 實驗結果表明，對於大規模基準測試，與 ANSYS RaptorX™ 獲得的 ROM 相比，該方法提供的 ROM 縮小了 22 倍，同時 S 參數的偏差可以忽略不計。

統計資料

EKSM 在所有類型的基準測試中都能生成準確且緊湊的 ROM，最大誤差低於 0.14%。
與 RaptorX™ ROM 相比，EKSM 生成的 ROM 平均縮小了 13.2 倍。

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

A low-rank balanced truncation approach for large-scale RLCk model order reduction based on extended Krylov subspace and a frequency-aware convergence criterion

by Christos Gia... 於 arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13571.pdf

深入探究

除了電路模擬之外，該方法還可以用於其他領域的大規模模型降階嗎？

是的，除了電路模擬，低秩平衡截斷方法（Low-rank Balanced Truncation）以及擴展克雷洛夫子空間法（Extended Krylov Subspace Method）可以應用於其他涉及大規模模型降階的領域。這些領域通常具有以下特點：

系統由線性或近似線性的微分方程描述。 平衡截斷方法基於線性系統理論，因此適用於線性時不變系統。對於非線性系統，可以先進行線性化處理，然後再應用該方法。
系統具有較高的狀態空間維度。 低秩方法旨在解決大規模問題，因此適用於狀態空間維度較高的系統。
需要保留系統的輸入輸出行為。 平衡截斷方法可以保證降階模型在輸入輸出行為上與原始模型接近。
以下是一些可以使用該方法的領域：

結構動力學： 用於模擬大型結構（如橋樑、建築物和飛機）的振動和動態響應。
流體力學： 用於模擬流體流動，例如天氣預報和飛機設計中的空氣動力學模擬。
熱傳遞： 用於模擬熱量在固體和流體中的傳遞，例如電子設備的熱管理。
控制系統： 用於簡化複雜的控制系統模型，以便於設計和分析控制器。
需要注意的是，該方法的性能取决于具体应用场景。在应用于新的领域时，需要根据实际情况进行调整和优化。

如果模型的非線性很強，該方法的性能會受到怎樣的影響？

如果模型的非線性很強，低秩平衡截斷方法的性能會受到一定影響，主要體現在以下幾個方面：

精度下降： 平衡截斷方法基於線性系統理論，對於非線性系統，需要先進行線性化處理。如果非線性很強，線性化誤差會很大，導致降階模型的精度下降。
收斂性問題： 對於非線性系統，低秩方法的迭代求解過程可能出現收斂性問題，例如迭代次數增加或無法收斂到滿足精度要求的解。
穩定性問題： 平衡截斷方法可以保證線性系統的穩定性，但對於非線性系統，降階模型的穩定性無法得到保證。
針對非線性系統，可以考慮以下方法來提高低秩平衡截斷方法的性能：

分段線性化： 將非線性系統的工作範圍劃分為多個線性段，對每個線性段分別進行降階。
非線性降階方法： 採用專門針對非線性系統的降階方法，例如非線性平衡截斷方法、Proper Orthogonal Decomposition (POD) 方法等。
結合機器學習技術： 利用機器學習技術來學習非線性系統的動態特性，並将其融入到降階模型中。

如何將機器學習技術應用於模型降階，以進一步提高效率和準確性？

機器學習技術可以應用於模型降階，以提高效率和準確性。以下是一些常見的應用方向：

非線性降階模型的構建： 利用深度學習等技術，可以構建非線性降階模型，例如使用深度神經網絡來逼近非線性系統的輸入輸出關係。這種方法可以克服傳統降階方法對線性系統的限制，提高降階模型的精度。
降階模型參數的優化： 機器學習可以用於優化降階模型的參數，例如使用強化學習來尋找最優的降階模型結構和參數，以最小化降階誤差。
降階模型的選擇： 對於不同的應用場景，可以利用機器學習技術自動選擇最合适的降階方法和參數，例如使用元學習來學習不同降階方法的性能，並根據具體問題選擇最優的方法。
加速降階過程： 機器學習可以加速降階過程中的計算，例如使用卷積神經網絡來加速矩陣分解等操作，或者使用遷移學習來利用已有模型的知識加速新模型的降階。
總之，機器學習技術為模型降階提供了新的思路和方法，可以有效提高降階模型的效率和準確性。隨著機器學習技術的不斷發展，其在模型降階領域的應用將會越來越廣泛。