多個四元數變數中的偏切片正則性和 Fueter 定理

Q: 如何將本文的結果推廣到更一般的代數結構，例如 Clifford 代數？

将本文结果推广到更一般的代数结构，如 Clifford 代数，是一个自然且具有吸引力的研究方向。以下是一些可能的思路： 利用 Clifford 代数的片结构: 与四元数类似，Clifford 代数也具有丰富的片结构。可以尝试将片函数、片正则函数和圆函数的概念推广到 Clifford 代数上，并研究其性质。例如，可以定义 Clifford 代数上的片函数为满足特定对称性的函数，并定义 Clifford 代数上的片正则函数为满足广义 Cauchy-Riemann 方程的片函数。 推广球值和球导数: 球值和球导数是片分析中的重要概念。可以尝试将这些概念推广到 Clifford 代数上，并研究其与 Clifford 代数上的微分算子的关系。例如，可以定义 Clifford 代数上的球值为函数在特定子空间上的平均值，并定义 Clifford 代数上的球导数为函数在特定方向上的导数。 推广 Fueter 定理: Fueter 定理揭示了片正则函数与轴向单值函数之间的联系。可以尝试将 Fueter 定理推广到 Clifford 代数上，并研究其在 Clifford 分析中的应用。例如，可以尝试找到 Clifford 代数上的微分算子，使得其核空间中的函数与 Clifford 代数上的片正则函数之间存在某种对应关系。 当然，将本文结果推广到 Clifford 代数上会面临一些挑战。例如，Clifford 代数的乘法不一定是可交换的，这会给定义和研究片函数、片正则函数和圆函数带来困难。此外，Clifford 代数的维数随着其阶数的增加而指数增长，这会给计算和证明带来困难。

Q: 是否存在不滿足偏切片正則性條件但仍然具有某些有趣性質的四元數變數函數？

是的，存在许多不满足偏切片正则性条件但仍然具有某些有趣性质的四元数变量函数。 以下是一些例子： 仅满足部分变量的片正则性: 例如，函数 $f(x_1, x_2) = x_1 x_2$ 在 $x_1$ 变量上是片正则的，但在 $x_2$ 变量上不是。这类函数在研究多变量片函数的局部性质时非常重要。 非片函数但具有轴对称性: 例如，函数 $f(x) = |x|^2$ 不是片函数，但它在每个四元数轴上都是常数。这类函数在研究四元数空间的几何性质时非常重要。 满足广义 Cauchy-Riemann 条件: 例如，Dirac 算子的零空间中的函数不一定是片正则函数，但它们满足一组更一般的 Cauchy-Riemann 条件。这类函数在 Clifford 分析和数学物理中有着广泛的应用。 研究这些不满足偏切片正则性条件的函数可以帮助我们更深入地理解四元数分析的本质，并发现新的数学工具和理论。

Q: 本文的研究結果對於四元數分析和其他數學領域的應用有何潛在影響？

本文的研究结果对四元数分析和其他数学领域具有以下潜在影响： 推动多变量片分析的发展: 本文对多变量片函数的偏切片正则性、球值、球导数等概念进行了深入研究，为多变量片分析的发展奠定了基础。这将有助于我们更好地理解多变量四元数函数的性质，并发展新的数学工具和理论。 促进 Clifford 分析的研究: 四元数是 Clifford 代数的一种特殊情况。本文的结果可以为 Clifford 分析的研究提供新的思路和方法。例如，可以尝试将本文的结果推广到更一般的 Clifford 代数上，并研究其在 Clifford 分析中的应用。 应用于数学物理: 四元数和 Clifford 代数在数学物理中有着广泛的应用，例如量子力学、相对论和场论。本文的结果可以为这些领域的理论研究提供新的数学工具。例如，可以利用片正则函数来构造新的物理模型，并研究其性质。 应用于工程领域: 四元数在计算机图形学、机器人学和信号处理等工程领域也有着重要的应用。本文的结果可以为这些领域的算法设计和优化提供新的思路。例如，可以利用片正则函数来表示和处理三维旋转，并提高算法的效率和精度。 总而言之，本文的研究结果不仅对四元数分析本身具有重要意义，而且对其他数学领域和应用领域也具有潜在的影响。

核心概念

本文推廣了多個四元數變數中切片分析的定義和結果，特別是關於偏切片正則性、球面值、球面導數和 Fueter 定理。

摘要