本文探討了二維空間中逆平方勢的非相對論量子力學散射現象,並揭示了其與伯努利數之間的獨特關係。
在二維空間中,具有排斥勢 V = κ/r²(κ > 0)的非相對論散射表現出特殊的性質。對於質量為 m 的單能束粒子,其積分截面 σ 呈現出極其簡潔的形式:σ = 2π²mκ/(ℏ²k),其中入射能量 E = ℏ²k²/(2m)。
通過將 sinc 函數表示為球貝索函數,並利用貝索函數的級數展開式,可以將 sinc 函數恆等式轉化為涉及伯努利數的關係式。
通過對伯努利數關係式進行線性變換,可以得到一個新的表達式,其中無符號伯努利數 |B2n| (n ≥ 2) 表示為 n-1 個單調遞減的正有理數之和。
本文的研究揭示了尺度不變散射與伯努利數之間的深刻聯繫,並提供了一種新的伯努利數表示方法,為數論和理論物理的研究提供了新的思路。
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