從龐加萊-霍普夫到鮑姆-博特以及馬可·布魯內拉：指數與留數

核心概念

本文探討複解析奇異簇與複流形上的奇異全純葉狀結構這兩個不同但又息息相關的數學理論，並闡述了向量場和全純葉狀結構的不變量，特別是GSV指數，如何將這兩個理論聯繫起來。

摘要

介紹

本文旨在探討複解析奇異簇與複流形上的奇異全純葉狀結構這兩個不同但又息息相關的數學理論。文章以 GSV 指數為主線，闡述了向量場和全純葉狀結構的不變量如何將這兩個理論聯繫起來。

向量場在孤立完全交奇點上的指數

GSV 指數

對於定義在複流形 X 中的孤立完全交奇點 (V, 0)，我們可以通過向量場 v、梯度向量場 ∇f1, ..., ∇fk 構建映射 ϕv，並將 ϕv 的度數定義為 v 在 0 ∈V 處的 GSV 指數，記作 IndGSV(v; V, 0)。GSV 指數等於 v 在米爾諾纖維中的總龐加萊-霍普夫指數。

同調指數

為了尋求 GSV 指數的代數表達式，Gómez-Mont 在 [52] 中定義了同調指數。對於複解析簇 (V, 0) 上的向量場 ζ，我們可以通過收縮映射構造複形 (Ω•V,0, v)，並將其歐拉示性數定義為 ζ 的同調指數，記作 Indhom(ζ, 0; V )。當 (V, p) 為完全交時，同調指數與 GSV 指數相等。

虛擬指數

虛擬指數是由 D. Lehmann、M. Soares 和 T. Suwa 在 [64] 中提出的，用於定義複流形中局部完全交上的向量場。對於具有孤立奇點的向量場，虛擬指數與 GSV 指數一致。

奇異全純葉狀結構、鮑姆-博特留數和指數

奇異全純葉狀結構和普法夫系統

複流形上的全純向量場決定了以向量場零點為奇點的複曲線的全純葉狀結構。這些葉狀結構的葉是浸入黎曼曲面。

鮑姆-博特留數

鮑姆-博特留數是與葉狀結構相關的重要不變量，由 R. Bott 在 [12] 中提出，隨後由 Baum 和 Bott 推廣到亞純向量場 [8] 和高維葉狀結構 [9]。

曲面上的一維全純葉狀結構的指數

鮑姆-博特-布魯內拉指數

布魯內拉在 [18] 中給出了 GSV 指數在複曲面上的一維全純葉狀結構的解釋，證明了該指數在全純葉狀結構理論中的重要性。

一維全純葉狀結構的 GSV 指數

布魯內拉證明，沿不變曲線的葉狀結構的 GSV 指數總和的非負性是解決龐加萊問題的障礙。

高維的指數和龐加萊問題

作為留數的 GSV 指數

在 [35] 中，Corrêa 和 Machado 利用 Aleksandrov 分解定理，將 GSV 指數推廣到複流形 X 上的 k 維 Pfaff 系統 ω，相對於 X 中的一個不變簇 V。

對數鮑姆-博特留數和 Aleksandrov 對數指數

Aleksandrov 在 [1] 中定義了對數指數 Indlog(F, D, p)，用於測量龐加萊-霍普夫指數和同調指數之間的差異。

結語

本文討論了與相交公式和其他不變量（如葉狀結構的米爾諾數和 Tjurina 數）的關係。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

Indices and residues: from Poincar\'e-Hopf to Baum-Bott, and Marco Brunella

by Maur... 於 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12861.pdf

深入探究

如何將 GSV 指數的概念推廣到更一般的奇異空間，例如非孤立奇點的簇？

將 GSV 指數推廣到更一般的奇異空間，例如具有非孤立奇點的簇，是一個活躍的研究領域，存在幾種可能的方法：

利用分解定理: 可以嘗試使用分解定理，例如 Hironaka 分解定理，將奇異空間分解為更簡單的空間，例如具有孤立奇點的簇。然後，可以嘗試在這些更簡單的空間上定義 GSV 指數，並將其「黏合」起來以獲得原始空間上的指數。

推廣向量場的定義: 可以嘗試將向量場的概念推廣到奇異空間上，例如使用層論或導子的語言。然後，可以嘗試使用這些推廣的向量場來定義 GSV 指數。

使用相交同調: 可以嘗試使用相交同調理論來定義 GSV 指數。相交同調是一種推廣的同調理論，它可以應用於奇異空間。

利用特徵類: 可以嘗試使用特徵類，例如 Chern 類，來定義 GSV 指數。特徵類是向量叢的不變量，它們可以推廣到奇異空間上。

這些方法都存在挑戰，例如如何確保推廣的 GSV 指數具有良好的性質，例如拓撲不變性、局部化性質等。

GSV 指數與其他葉狀結構不變量（如 Camacho-Sad 指數）之間是否存在更深層次的聯繫？

GSV 指數與其他葉狀結構不變量，例如 Camacho-Sad 指數，之間確實存在更深層次的聯繫。以下是一些例子：

二維情況: 在複曲面上，Brunella 的工作表明，GSV 指數與 Camacho-Sad 指數密切相關。特別是，GSV 指數可以用來刻畫葉狀結構的不變曲線的性質，例如其虧格和自相交數。

高維情況: 在高維情況下，GSV 指數和 Camacho-Sad 指數都可以看作是 Baum-Bott 留數的推廣。Baum-Bott 留數是葉狀結構的局部不變量，它們可以「黏合」起來以獲得全局不變量。

對偶性: GSV 指數和 Camacho-Sad 指數之間存在一種對偶性。具體來說，GSV 指數可以看作是向量場的指數，而 Camacho-Sad 指數可以看作是 1-形式的指數。

這些聯繫表明，GSV 指數和 Camacho-Sad 指數是理解葉狀結構的幾何和拓撲性質的重要工具。

能否利用 GSV 指數和其他局部指數理論來解決代數幾何中的其他未解問題？

GSV 指數和其他局部指數理論可以潛在地用於解決代數幾何中的其他未解問題。以下是一些例子：

奇點理論: 局部指數理論，例如 GSV 指數和 Milnor 數，是研究奇點的重要工具。它們可以用來分類奇點、研究奇點的分解和變形等。

枚舉幾何: 局部指數理論可以用於解決枚舉幾何問題，例如計算曲線或曲面的數量。

模空間理論: 局部指數理論可以用於研究模空間的性質，例如其維數、奇點和拓撲結構。

葉狀結構理論: 如前所述，GSV 指數和其他局部指數理論是研究葉狀結構的重要工具。它們可以用來分類葉狀結構、研究葉狀結構的不變量和奇點等。

總之，GSV 指數和其他局部指數理論是強大的工具，可以應用於代數幾何的廣泛問題。隨著這些理論的進一步發展，我們可以預期它們將在解決代數幾何中的未解問題方面發揮越來越重要的作用。