接觸幾何中餘各向同性子流形的剛性結果

核心概念

本文證明了緊緻正則餘各向同性子流形在其特徵葉層的微分同胚類中是剛性的。

摘要

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

A rigidity result for coisotropic submanifolds in contact geometry

by Stephane Geu... 於 arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2401.06572.pdf

深入探究

這個剛性結果如何推廣到非緊緻的餘各向同性子流形？

這個剛性結果對於緊緻餘各向同性子流形在接觸幾何中的推廣到非緊緻的情況並不容易。主要困難在於：

證明中使用了緊緻性: 文中定理 2.6 的證明中，緊緻性被用來確保對於充分小的時間 t，分佈 TF_t 與 G 保持橫截性。這一點對於非緊緻流形不一定成立。
整體接觸同胚的存在性: 主定理的證明依賴於接觸結構的 Gray 穩定性，這保證了局部接觸同胚可以延拓到整個流形。對於非緊緻流形，這樣的延拓不一定存在。

然而，可以嘗試在一些特殊情況下推廣這個結果：

局部結果: 即使在非緊緻流形上，剛性結果也應該在局部成立。也就是說，給定一個餘各向同性子流形 C 和一個形變 C_t，可以在 C 的一個鄰域內找到一個接觸同胚，將 C 的一部分映射到 C_t 的對應部分。
帶有適當條件的非緊緻流形: 可以考慮在非緊緻流形上添加一些適當的幾何條件，例如完備性、有界幾何或漸近條件，以確保接觸同胚的延拓性，從而推廣剛性結果。

是否存在特徵葉層不具有剛性的餘各向同性子流形的例子？

是的，存在特徵葉層不具有剛性的餘各向同性子流形的例子。以下是一些例子：

餘維數為 1 的餘各向同性子流形: 在接觸 3 維流形中，餘維數為 1 的餘各向同性子流形對應於曲面。這些曲面的特徵葉層是一維葉層，因此總是可以形變的。
具有非平凡葉狀餘調的餘各向同性子流形: 如果一個餘各向同性子流形的特徵葉層具有非平凡的葉狀餘調，那麼通常可以找到不改變葉層微分同胚類型的形變。例如，考慮一個餘各向同性子流形，其特徵葉層是環面上的無理流。這個葉層可以通過改變環面上無理旋轉的斜率來形變，而不會改變葉層的微分同胚類型。

這個結果對於接觸幾何中餘各向同性子流形的動力系統有什麼影響？

這個剛性結果對於接觸幾何中餘各向同性子流形的動力系統有以下影響：

限制了可能的動力系統: 剛性結果表明，如果一個餘各向同性子流形的特徵葉層具有某些剛性性質，那麼在保持餘各向同性的情況下，葉層的動力系統就無法發生太大的變化。這就限制了在這些子流形上可能出現的接觸動力系統的類型。
簡化了動力系統的研究: 在某些情況下，剛性結果可以被用來簡化餘各向同性子流形上接觸動力系統的研究。例如，如果已知一個餘各向同性子流形是剛性的，那麼就可以通過研究其特徵葉層的動力系統來了解整個接觸動力系統的行為。
與葉狀不變量的聯繫: 剛性結果表明，餘各向同性子流形的特徵葉層的葉狀不變量，例如葉狀餘調和葉狀基本群，對於理解接觸動力系統的行為具有重要意義。
總之，這個剛性結果提供了一個強大的工具來研究接觸幾何中餘各向同性子流形的動力系統，它揭示了葉層的幾何與動力系統之間的深刻聯繫。