推導出的 Emerton-Gee 堆疊的經典性 II：廣義約簡群

Q: p-adic 局部 Langlands 對應猜想的譜側，那麼幾何側的對應對象是什麼？它們之間的關係如何？

p-adic 局部 Langlands 對應猜想的幾何側對應對象是： Galois representations: 更確切地說，是 p-adic Galois representations，即絕對 Galois 群 $G_K$ (K 為 p-adic 域) 到一個 p-adic 群 G 的連續表示。 譜側和幾何側的關係可以概括如下： 對應關係: p-adic 局部 Langlands 對應猜想預測，K 上約簡群 G 的某些 Galois representations 與 G 的 Langlands 對偶群 $^LG$ 的某些表示之間存在對應關係。 Emerton-Gee 堆疊: Emerton-Gee 堆疊被認為是譜側的自然幾何對象，它參數化了 $^LG$ 的某些表示。 目標: 建立一個“字典”，將 Galois representations 的性質（幾何側）與 $^LG$ 表示的性質（譜側）聯繫起來。 更具體地說: 對於 $G = GL_n$，Emerton-Gee 堆疊參數化了某種類型的 $(\varphi, \Gamma)$-modules，這些 modules 與 $GL_n$ 的 p-adic Galois representations 密切相關。 對於更一般的約簡群 G，Emerton-Gee 堆疊的構造更加複雜，但其目標仍然是參數化與 G 的 p-adic Galois representations 相關的對象。

Q: 本文證明了廣義約簡群的推導 Emerton-Gee 堆疊的經典性，那麼對於更一般的群，例如非連通非約簡群，這個結論是否仍然成立？

對於更一般的群，例如非連通非約簡群，推導 Emerton-Gee 堆疊的經典性目前還是一個開放性問題。 主要難點: 對於非連通非約簡群，其表示論和結構都更加複雜，難以直接套用已有的方法來證明經典性。 可能的解決思路: 需要發展新的技術和方法，例如： 尋找新的描述 G-torsors 的方式，類似於 Broshi 在連通約簡群情況下使用的方法。 發展更一般的形變理論和障礙理論，以處理非約簡群的情況。 研究非約簡群的模 p 表示，以期找到類似於 Lin 在連通約簡群情況下使用的 quasi-compactness 結果。

Q: 本文使用了許多來自代數幾何和表示論的工具，那麼這些工具在其他數學領域，例如數論和算術幾何，是否有類似的應用？

是的，本文使用的代數幾何和表示論工具在數論和算術幾何中也有很多類似的應用。以下列舉一些例子： Tannaka 對偶性: Tannaka 對偶性在數論中有多種應用，例如： 構造 motives 的範疇： motives 是 Grothendieck 提出的用於研究代數簇的 cohomology 的範疇，Tannaka 對偶性可以用於從某些 cohomology 群的範疇構造 motives 的範疇。 研究 Galois representations 的性質： Tannaka 對偶性可以用於將 Galois representations 與某些代數群聯繫起來，從而研究 Galois representations 的性質。 形變理論和障礙理論: 形變理論和障礙理論在算術幾何中被廣泛應用於研究模空間的局部性質，例如： 研究橢圓曲線的模空間： 形變理論和障礙理論可以用於研究橢圓曲線的模空間的局部性質，例如其光滑性和維數。 研究 Galois representations 的模空間： 形變理論和障礙理論可以用於研究 Galois representations 的模空間的局部性質，例如其光滑性和維數。 Prismatic site: Prismatic site 是 Bhatt 和 Scholze 近年來發展起來的用於研究 p-adic Hodge 理論的新工具，它在算術幾何中有多種應用，例如： 構造新的 p-adic cohomology 理論： Prismatic site 可以用於構造新的 p-adic cohomology 理論，例如 prismatic cohomology 和 Ainf-cohomology。 研究 p-adic periods： Prismatic site 可以用於研究 p-adic periods，例如 p-adic periods 的比較定理。 總之，代數幾何和表示論的工具在數論和算術幾何中扮演著重要的角色，它們為解決這些領域中的問題提供了強大的工具和方法。

核心概念

本文使用 Tannakian 形式主義定義了一般群的 Emerton-Gee 堆疊，並探討了其經典性問題，特別是對於廣義約簡群。

摘要

簡介

本文延續作者先前關於 GLd 的 Emerton-Gee 堆疊的研究，探討更一般的群 G 的 Emerton-Gee 堆疊。作者的動機來自於 Emerton-Gee 堆疊在證明 GLd 值 Galois 表示的晶體提升存在性、提供 Serre 猜想和 Breuil-Mezard 猜想的權重部分的幾何設定，以及作為局部 Langlands 對應猜想的譜側的自然幾何對象等方面的應用。

一般群的 Emerton-Gee 堆疊

作者首先利用 Tannakian 形式主義定義了一般群 G 的 Emerton-Gee 堆疊 XG，並證明了當 G 是 Spec(Zp) 上有限型的平坦仿射群概形時，XG 是 Spf(Zp) 上局部有限表示的的形式代數堆疊。

為了證明這一點，作者借鑒了 Broshi 在證明平坦概形上 G-torsors 堆疊是局部有限型的代數堆疊時所採用的方法。Broshi 證明了對於 Spec(Zp) 上有限型的平坦仿射群概形 G，可以找到 G 的代數表示 V、張量構造 t(V) 和局部可裂解線叢 L ⊂ t(V)，使得 G ≃ Aut(V, L)。利用這個描述，Broshi 進一步證明了 Zp 上概形 Y 上的 G-torsor 與所謂的 Y-twist (EY, LY) 相同，其中 EY 是 Y 上的向量叢，LY 是 t(EY) 中的局部可裂解線叢，使得 (EY, LY) 在 fppf 局部上同構於 (V, L)。

基於 Broshi 的工作，作者證明了具有 G-結構的 étale (ϕ, Γ)-模與 étale (ϕ, Γ)-AR-twists（即配備相容 (ϕ, Γ)-作用的 AR-twists）等價。然後，作者構造了一個自然單態射 i: XG → X◦G 和一個遺忘態射 π: X◦G → XGLd × XGLt(d)-1，其中 X◦G 參數化三元組 (E, F, f: t(E) → F)，它們由秩為 d 的向量叢 E、秩為 t(d)-1 的向量叢 F 以及滿射 f: t(E) → F 組成。

作者證明了 π: X◦G → XGLd × XGLt(d)-1 在形式概形中是可表示的，並利用 Artin 準則證明了單態射 i: XG → X◦G 的可表示性。

一般群 G 的推導 Emerton-Gee 堆疊

作者還構造了絕對棱柱站點 (OK)∆ 上具有 G-結構的 Laurent F-晶體的推導堆疊 XG，並證明了當 G 是 Spec(Zp) 上有限型的平坦仿射群概形時，堆疊 XG 與推導堆疊 XG 的底層經典堆疊 clXG 等價。

為了證明推導堆疊 XG 的經典性，作者首先考慮 G 是連通約簡群的情況。作者利用 [GR17, Chapter 1, Proposition 8.3.2]，通過比較經典點處的餘切複形來比較兩個允許變形理論的推導預堆疊。作者證明了 (LanclXG)#,nil 和 XnilG 都允許 [GR17, Chapter 1, Proposition 8.3.2] 所要求的變形理論，並且局部幾乎是有限型的，這使得比較有限型離散代數上的點處的餘切複形變得足夠。

接下來，為了比較有限型離散代數上的點處的餘切複形，作者證明了這些點處的餘切複形實際上是複形。對於 (LanclXG)#,nil，重要的輸入是 XG 是一個形式代數堆疊。對於 XnilG，作者直接證明了餘切複形由與該點對應的伴隨 étale (ϕ, Γ)-模關聯的移位 Herr 複形給出。

最後，作者將注意力轉移到 [PQ24] 中引入的廣義約簡群，並證明了對於 Zp 上的廣義約簡群 G，推導堆疊 XgenG 在冪零完備化後是經典的，即 (LanclXgenG)#,nil ≃ XnilG，其中 (LanclXgenG)#,nil 是 clXgenG 沿包含映射 NilpZp ↪ NilpZp 的左 Kan 延拓的 étale 層化的冪零完備化。

總結

本文使用 Tannakian 形式主義定義了一般群的 Emerton-Gee 堆疊，並證明了其經典性，特別是對於廣義約簡群。這項工作為研究更一般的群的 Galois 表示的晶體提升、Serre 猜想和 Breuil-Mezard 猜想，以及局部 Langlands 對應猜想提供了新的工具。

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Classicality of derived Emerton--Gee stack II: generalised reductive groups

by Yu Min 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12661.pdf

Classicality of derived Emerton--Gee stack II: generalised reductive groups

深入探究

p-adic 局部 Langlands 對應猜想的譜側，那麼幾何側的對應對象是什麼？它們之間的關係如何？

p-adic 局部 Langlands 對應猜想的幾何側對應對象是：

Galois representations: 更確切地說，是 p-adic Galois representations，即絕對 Galois 群 $G_K$ (K 為 p-adic 域) 到一個 p-adic 群 G 的連續表示。
譜側和幾何側的關係可以概括如下：

對應關係:  p-adic 局部 Langlands 對應猜想預測，K 上約簡群 G 的某些 Galois representations 與 G 的 Langlands 對偶群  $^LG$ 的某些表示之間存在對應關係。
Emerton-Gee 堆疊: Emerton-Gee 堆疊被認為是譜側的自然幾何對象，它參數化了 $^LG$ 的某些表示。
目標: 建立一個“字典”，將 Galois representations 的性質（幾何側）與 $^LG$ 表示的性質（譜側）聯繫起來。
更具體地說:

對於 $G = GL_n$，Emerton-Gee 堆疊參數化了某種類型的 $(\varphi, \Gamma)$-modules，這些 modules 與 $GL_n$ 的 p-adic Galois representations 密切相關。
對於更一般的約簡群 G，Emerton-Gee 堆疊的構造更加複雜，但其目標仍然是參數化與 G 的 p-adic Galois representations 相關的對象。

本文證明了廣義約簡群的推導 Emerton-Gee 堆疊的經典性，那麼對於更一般的群，例如非連通非約簡群，這個結論是否仍然成立？

對於更一般的群，例如非連通非約簡群，推導 Emerton-Gee 堆疊的經典性目前還是一個開放性問題。

主要難點:  對於非連通非約簡群，其表示論和結構都更加複雜，難以直接套用已有的方法來證明經典性。
可能的解決思路:  需要發展新的技術和方法，例如：

尋找新的描述 G-torsors 的方式，類似於 Broshi 在連通約簡群情況下使用的方法。
發展更一般的形變理論和障礙理論，以處理非約簡群的情況。
研究非約簡群的模 p 表示，以期找到類似於 Lin 在連通約簡群情況下使用的 quasi-compactness 結果。

本文使用了許多來自代數幾何和表示論的工具，那麼這些工具在其他數學領域，例如數論和算術幾何，是否有類似的應用？

是的，本文使用的代數幾何和表示論工具在數論和算術幾何中也有很多類似的應用。以下列舉一些例子：

Tannaka 對偶性:  Tannaka 對偶性在數論中有多種應用，例如：

構造 motives 的範疇：  motives 是 Grothendieck 提出的用於研究代數簇的 cohomology 的範疇，Tannaka 對偶性可以用於從某些 cohomology 群的範疇構造 motives 的範疇。
研究 Galois representations 的性質：  Tannaka 對偶性可以用於將 Galois representations 與某些代數群聯繫起來，從而研究 Galois representations 的性質。

形變理論和障礙理論:  形變理論和障礙理論在算術幾何中被廣泛應用於研究模空間的局部性質，例如：

研究橢圓曲線的模空間：  形變理論和障礙理論可以用於研究橢圓曲線的模空間的局部性質，例如其光滑性和維數。
研究 Galois representations 的模空間：  形變理論和障礙理論可以用於研究 Galois representations 的模空間的局部性質，例如其光滑性和維數。

Prismatic site:  Prismatic site 是 Bhatt 和 Scholze 近年來發展起來的用於研究 p-adic Hodge 理論的新工具，它在算術幾何中有多種應用，例如：

構造新的 p-adic cohomology 理論：  Prismatic site 可以用於構造新的 p-adic cohomology 理論，例如 prismatic cohomology 和 Ainf-cohomology。
研究 p-adic periods：  Prismatic site 可以用於研究 p-adic periods，例如 p-adic periods 的比較定理。
總之，代數幾何和表示論的工具在數論和算術幾何中扮演著重要的角色，它們為解決這些領域中的問題提供了強大的工具和方法。