核心概念
本文證明了任何有限維度的偽歐幾里得空間的色數都是無限的,並針對特定情況提供了更精確的色數下界。
摘要
文獻資訊
- 標題:時空的色數
- 作者:James Davies
- 機構:劍橋大學,英國
- 發佈日期:2024 年 11 月 17 日
- 類型:研究論文
研究目標
本文旨在探討偽歐幾里得空間的色數問題,特別是解決 Kosheleva 和 Kreinovich 在 2009 年提出的關於偽歐幾里得空間的 Hadwiger-Nelson 問題的類比問題。
方法
- 利用 Graham 定理證明任何有限著色方案下,整數格點 Z² 中都存在滿足特定距離條件的單色點對。
- 透過引入第二個空間維度,利用作者先前關於平面著色中奇數距離的研究方法,獲得更精確的色數下界。
- 應用 Lovász theta bound 的 Cayley 圖類比,估計特定 Cayley 圖的獨立集密度,進而推導出色數下界。
主要發現
- 任何有限著色方案下,有理數平面 Q² 中都存在距離為 1 的單色點對,因此偽歐幾里得空間 R¹¹ 的色數為無限大。
- 對於任何正整數 s ≡ 2 (mod 4),任何對 Z³ 的 s-著色方案中,都存在滿足特定距離條件的單色點對。
- 提供了 Z³ 中特定 Cayley 圖色數的密度強化版本。
主要結論
- 偽歐幾里得空間的色數問題與歐幾里得空間存在顯著差異,任何有限維度的偽歐幾里得空間的色數都是無限的。
- 本文提出的方法可以獲得比 Graham 定理更精確的色數下界。
研究意義
- 解決了 Kosheleva 和 Kreinovich 提出的關於偽歐幾里得空間色數的問題。
- 推進了對偽歐幾里得空間著色問題的理解。
局限性和未來研究方向
- Z² 中密度版本的 Graham 定理仍然是開放性問題。
- 未來研究可以探討具有更多時間維度的偽歐幾里得空間的色數問題。
統計資料
對於任何正整數 s,存在一個正整數 T(s),使得在 Z² 的任何 s-著色中,總是存在一個單色點對 (x, y), (x′, y′) ∈ Z²,滿足 (x − x′)² − (y − y′)² = (2T(s))²。
對於任何正整數 r,如果 I ⊆ Z³ 的上密度大於 1/(1 + |Dr|/2),則存在一對點 (x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ I,滿足 (x − x′)² + (y − y′)² − (z − z′)² = (r(8r²)!)²。
如果 r 的質因數分解為 r = 2^a Q p_i^b_i Q q_i^c_i,其中 p_i ≡ 1 (mod 4) 且 q_i ≡ 3 (mod 4),則根據 Jacobi 的雙平方定理,我們有 |Dr| = 4 Q(2b_i + 1)。
引述
"Every finite colouring of Q² contains a monochromatic pair of points (x, y), (x′, y′) with (x − x′)² − (y − y′)² = 1. In particular, χ(R¹,¹) = ∞."
"For every positive integer s with s ≡ 2 (mod 4), every s-colouring of Z³ contains a monochromatic pair of points (x, y, z), (x′, y′, z′) with (x − x′)² + (y − y′)² − (z − z′)² = (5^(s−2)/4(8 · 5^(s−2)/2)!)²."