核心概念
本文推翻了先前研究認為有限顧客群體 M/G/1 佇列系統難以進行精確分析的說法,提出了一種遞迴演算法,可以有效計算在指數分佈時間點上,系統中顧客數量和工作量的聯合機率分佈和密度。
本文研究了一種由有限顧客群體驅動的 M/G/1 類型佇列模型,並提出了一種遞迴演算法,用於計算系統中顧客數量和工作量的時間相關分佈。
模型介紹
該模型假設在時間 0 時刻,系統中已有 k 個顧客,且還有 m 個顧客將在時間 0 後到達。顧客到達時間間隔服從指數分佈,其參數取決於尚未到達的顧客數量。所有顧客的服務時間均服從相同的隨機變數 B。
主要貢獻
本文的主要貢獻在於提出了一種遞迴演算法,可以計算在指數分佈時間點上,系統中顧客數量和工作量的聯合機率分佈和密度。該演算法基於兩個輔助機率序列:
序列一 (u_ni): 表示在一個服務時間內有 i 個顧客到達的機率,其中初始時有 n 個顧客尚未到達,且指數時間 T 大於服務時間 B。
序列二 (v_ni): 表示在指數時間 T 內有 i 個顧客到達的機率,且 T 小於等於服務時間 B。
通過遞迴計算這兩個機率序列,並結合不同的系統狀態,即可得到系統中顧客數量和工作量的聯合機率分佈和密度。
結果分析
本文的結果表明,有限顧客群體 M/G/1 佇列系統是可以進行精確分析的,推翻了先前研究的結論。此外,本文還分析了顧客等待時間的分佈,並針對服務時間服從規則變化的情況,推導了等待時間分佈的尾部漸近性。
特殊情況
本文還討論了兩種特殊情況:
到達時間服從 Yule 過程: 在這種情況下,尚未到達的顧客根據獨立且服從相同指數分佈的時鐘選擇到達時間。
到達過程為停止泊松過程: 在這種情況下,顧客到達服從速率為 λ 的泊松過程,但在第 m 個顧客到達後停止。
對於這兩種特殊情況,本文給出了計算所需機率序列的顯式表達式。
總結
本文提出了一種遞迴演算法,用於分析有限顧客群體 M/G/1 佇列模型的瞬態行為。該演算法可以有效計算系統中顧客數量、工作量和等待時間的分佈,為研究此類佇列模型提供了新的思路和方法。