本文探討了局部對稱空間的譜理論和表示理論之間的關係,特別關注了 $\tau$-等譜性的概念。作者回顧了與該主題相關的先前工作,包括 Sunada、C.S. Rajan、E. Lauret、R. Miatello、Pesce、Bhagwat-Rajan 和 Kelmer 的貢獻。這些研究探討了譜與局部對稱空間的幾何和表示理論性質之間的相互作用。
本文的核心成果是證明了兩個具有幾乎相同 $\tau$-球面譜的均勻無扭自由格的局部對稱空間實際上具有相同的譜。換句話說,如果兩個此類空間的拉普拉斯算子對於除有限個特徵值外的所有特徵值具有相同的特徵值重數,則它們對於所有特徵值都具有相同的重數。此結果推廣了 Bhagwat-Rajan 在球面譜情況下的先前工作。
作者還建立了 Matsushima-Murakami 公式的無窮小版本。該公式將與有限維表示 $\tau$ 相關的自守形式空間的維數與 $L^2(Γ\G)$ 中不可約 $\tau∨$-球面譜的重數聯繫起來,其中 $\Gamma$ 是連通非緊緻半單純李群 $G$ 中的均勻無扭自由格。此公式推廣了經典的 Matsushima-Murakami 公式,該公式涉及拉普拉斯算子的譜。
為了證明他們的第一個主要結果,作者採用了 Selberg 跡公式,這是一種將算子的跡與相關空間的幾何和譜性質聯繫起來的強大工具。他們通過構造適當的測試函數來仔細分析跡公式的幾何和譜展開,這些測試函數使他們能夠分離出 $\tau$-球面表示的貢獻。
本文的結果對局部對稱空間的研究具有重要意義。它們提供了一種通過它們的譜來區分此類空間的新方法,並為 $L^2(Γ\G)$ 的表示理論提供了新的見解。作者還提出了關於他們工作的一些可能方向的未來研究,例如制定 Matsushima-Murakami 公式的變體,該公式涉及 L-包而不是單個表示。
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