論權重為一的唯一範圍集的基數

Q: 如何將本文結果推廣至更一般的權重共享情況？

要將本文結果推廣到更一般的權重共享情況，可以考慮以下幾個方向： 提高權重： 本文主要研究了權重為 1 的情況，即 $E_f(S,1)=E_g(S,1)$。 可以嘗試將權重提高到更大的正整數 $l$，研究 $E_f(S,l)=E_g(S,l)$ 是否能推出 $f≡g$，以及所需的集合 $S$ 的最小基數。 放鬆共享條件： 可以考慮放鬆共享的條件，例如，不要求 $f$ 和 $g$ 在集合 $S$ 上的每個點的重數都相等，而是允許有一定的差異。 研究不同類型的函數： 本文主要研究了亞純函數，可以嘗試將結果推廣到其他類型的函數，例如亞純映射、整函數等。 結合其他條件： 可以考慮結合其他條件，例如函數的虧量、增长级等，來研究唯一性問題。 需要注意的是，推廣到更一般的權重共享情況可能會面临更大的挑战，需要更精细的分析和更强大的工具。

Q: 是否存在其他方法可以構造基數更小的唯一範圍集？

除了本文中使用 Frank-Reinders 多項式構造唯一範圍集的方法外，還有一些其他的構造方法： 利用 Picard 定理： Picard 定理指出，非常數整函數至多漏掉一個复值。可以利用這個性質構造唯一範圍集，例如，可以選擇一個包含無窮遠點和一個有限复值的集合。 利用亚纯函数的值分布理论： 可以利用 Nevanlinna 理论中的第二基本定理、亏量关系等工具来构造唯一范围集。 利用差分多项式： 可以利用差分多项式来构造唯一范围集，例如，可以考虑形如 $f(z+c)-f(z)$ 的差分多项式，其中 $c$ 是一个非零复数。 构造基数更小的唯一范围集是一个重要的研究方向，需要不断探索新的方法和技巧。

Q: 唯一範圍集的基數與亞純函數的其他性質之間是否存在聯繫？

唯一範圍集的基數與亞純函數的其他性質之間存在着密切的聯繫。例如： 函數的增长级： 一般来说，函数的增长级越高，所需的唯一范围集的基数就越小。 函數的虧量： 函数的亏量与其唯一范围集的基数之间也存在着一定的联系。 函數的差分性质： 函数的差分性质，例如其差分多项式的次数、系数等，也会影响其唯一范围集的基数。 研究唯一范围集的基数与亚纯函数其他性质之间的联系，有助于更深入地理解亚纯函数的唯一性问题，并为解决其他相关问题提供新的思路和方法。

核心概念

本文證明了存在一個至少包含 13 個元素的有限集 S，使得如果兩個非常數亞純函數 f 和 g 滿足 Ef(S, 1) = Eg(S, 1)，則 f ≡ g。

摘要

文獻回顧

唯一範圍集 (URS) 的概念源於對亞純函數因式分解的研究。
Gross 問題探討是否存在一個有限集 S，使得任何兩個非常數整函數 f 和 g 共享該集合 S 時，必有 f = g。
Gross 和 Yang (1982) 證明了存在一個包含 5 個元素的 URS。
後續研究致力於尋找 URS 的最小基數，以及在放寬共享條件（例如忽略多重性）下的結果。

本文貢獻

本文利用 Frank-Reinders (1998) 的方法，改進並補充了 Liao 和 Yang (2000) 的結果。
主要結果：存在一個至少包含 13 個元素的有限集 S，使得如果兩個非常數亞純函數 f 和 g 滿足 Ef(S, 1) = Eg(S, 1)（即 f 和 g 以權重 1 共享集合 S），則 f ≡ g。
推論：對於非常數整函數，存在一個至少包含 8 個元素的有限集 S 滿足上述條件。

證明思路

利用 Frank-Reinders 多項式構造集合 S。
分情況討論：
- 若輔助函數 H ̸≡ 0，則利用 Nevanlinna 定理和值分佈理論推導矛盾。
- 若 H ≡ 0，則 f 和 g 滿足一個線性分式變換關係。
- 進一步分情況討論線性分式變換的係數，利用 Nevanlinna 定理和值分佈理論推導矛盾，最終證明 f ≡ g。

本文意義

降低了唯一範圍集的最小基數。
推廣了 Liao 和 Yang 的結果，將共享條件放寬至權重為 1 的情況。
為亞純函數的唯一性理論提供了新的見解。

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arxiv.org

統計資料

n ≥ 13 (對於亞純函數)
n ≥ 8 (對於整函數)

引述

"Two meromorphic functions f and g are said to share the set S ⊂ C ∪{∞} with weight l ∈N ∪{0} ∪{∞}, if Ef(S, l) = Eg(S, l)."
"In this paper, we improve and supplement the result of L. W. Liao and C. C. Yang (On the cardinality of the unique range sets for meromorphic and entire functions, Indian J. Pure appl. Math., 31 (2000), no. 4, 431-440) by showing that there exist a ﬁnite set S with cardinality ≥13 such that Ef(S, 1) = Eg(S, 1) implies f ≡g."

從以下內容提煉的關鍵洞見

On the cardinality of unique range sets with weight one

by Bikash Chakr... 於 arxiv.org 11-04-2024

https://arxiv.org/pdf/1807.08619.pdf

On the cardinality of unique range sets with weight one

深入探究

如何將本文結果推廣至更一般的權重共享情況？

要將本文結果推廣到更一般的權重共享情況，可以考慮以下幾個方向：

提高權重： 本文主要研究了權重為 1 的情況，即 $E_f(S,1)=E_g(S,1)$。  可以嘗試將權重提高到更大的正整數  $l$，研究  $E_f(S,l)=E_g(S,l)$ 是否能推出 $f≡g$，以及所需的集合 $S$ 的最小基數。
放鬆共享條件： 可以考慮放鬆共享的條件，例如，不要求  $f$ 和  $g$ 在集合  $S$ 上的每個點的重數都相等，而是允許有一定的差異。
研究不同類型的函數： 本文主要研究了亞純函數，可以嘗試將結果推廣到其他類型的函數，例如亞純映射、整函數等。
結合其他條件： 可以考慮結合其他條件，例如函數的虧量、增长级等，來研究唯一性問題。

需要注意的是，推廣到更一般的權重共享情況可能會面临更大的挑战，需要更精细的分析和更强大的工具。

是否存在其他方法可以構造基數更小的唯一範圍集？

除了本文中使用 Frank-Reinders 多項式構造唯一範圍集的方法外，還有一些其他的構造方法：

利用 Picard 定理：  Picard 定理指出，非常數整函數至多漏掉一個复值。可以利用這個性質構造唯一範圍集，例如，可以選擇一個包含無窮遠點和一個有限复值的集合。
利用亚纯函数的值分布理论： 可以利用 Nevanlinna  理论中的第二基本定理、亏量关系等工具来构造唯一范围集。
利用差分多项式： 可以利用差分多项式来构造唯一范围集，例如，可以考虑形如 $f(z+c)-f(z)$ 的差分多项式，其中 $c$ 是一个非零复数。

构造基数更小的唯一范围集是一个重要的研究方向，需要不断探索新的方法和技巧。

唯一範圍集的基數與亞純函數的其他性質之間是否存在聯繫？

唯一範圍集的基數與亞純函數的其他性質之間存在着密切的聯繫。例如：

函數的增长级：  一般来说，函数的增长级越高，所需的唯一范围集的基数就越小。
函數的虧量：  函数的亏量与其唯一范围集的基数之间也存在着一定的联系。
函數的差分性质：  函数的差分性质，例如其差分多项式的次数、系数等，也会影响其唯一范围集的基数。

研究唯一范围集的基数与亚纯函数其他性质之间的联系，有助于更深入地理解亚纯函数的唯一性问题，并为解决其他相关问题提供新的思路和方法。