核心概念
本文證明了史坦緊緻集上代數簇的 étale 上同調與其解析化的奇異上同調之間的比較定理,並探討了其應用,包括對實解析空間上希爾伯特第十七問題的定量版本。
摘要
本文探討了史坦緊緻集上代數簇的 étale 上同調,證明了一個重要的比較定理,並探討了其在實解析幾何中的應用。
主要結果
- 比較定理(定理 0.5): 對於史坦空間 S、S 上的有限型 O(S)-概形 X 以及 X 上的扭 étale 阿貝爾層 L,如果 X 在 O(S) 上是恰當的或者 L 是可構造的,則當 U 遍歷 S 的史坦開鄰域時,拓撲變化態射在 k ≥ 0 時是同構的。
- 上同調維數界(定理 0.4): 對於維度為 n 的正規史坦空間 S 的連通史坦緊緻子集 K,K 鄰域內的芽的亞純函數域 M(K) 的上同調維數為 n。
- 實解析希爾伯特第十七問題(定理 0.1): 對於純維度為 n 的正規實解析簇 M 以及 M 的緊緻子集 K,M 上的任何非負實解析函數都是 K 鄰域內實解析亞純函數的 2n 個平方和。
定理證明
本文採用了一系列代數和解析工具來證明比較定理,包括:
- 利用 dévissage 論證證明了一個相對比較定理(定理 0.6)。
- 藉由 Leray 谱序列比較 étale 拓撲和經典拓撲。
- 利用 Bhatt 的消失定理([Bha12, Theorem 1.1])證明奇異上同調類在拉回到有限分歧覆蓋後變得非分歧。
- 應用 Oka-Weil 逼近定理和 Grauert 的 bump 方法證明非分歧上同調類可以通過進一步的有限分歧覆蓋來消除。
- 利用 Voevodsky 的 qfh 拓撲來處理分歧覆蓋。
應用
比較定理的結果可以應用於:
- 證明亞純函數域的上同調維數界。
- 推導實解析空間上希爾伯特第十七問題的定量版本。
- 證明在某些條件下,實解析流形上的非負實解析函數是實解析亞純函數的有限平方和(推論 0.2)。
總結
本文通過證明 étale 上同調和奇異上同調之間的比較定理,為史坦緊緻集上代數簇的 étale 上同調提供了新的見解。這些結果在實解析幾何中有重要的應用,特別是在希爾伯特第十七問題方面。