阿貝爾練習題

Q: 如何將本文的結果推廣到更一般的線性代數群？

將本文結果推廣到更一般的線性代數群是一個極具挑戰性但也充滿前景的研究方向。以下列出一些可能的推廣方向以及可能遇到的挑戰： 更一般的群結構: 本文主要關注 GL2，這是一個相對簡單的線性代數群。對於更一般的線性代數群，例如 GLn (n>2) 或其他經典群 (如 Sp2n, SO(n))，其結構更加複雜，例如： 單根分解: 更一般的群的單根分解會更加複雜，這會影響到誘導表示的計算以及上同調群的結構。 Bruhat 分解: Bruhat 分解是理解群作用的重要工具，但對於更一般的群，其分解會更加複雜，這會影響到上同調群的計算。 更一般的係數: 本文主要考慮的是一些特定的函數空間，例如連續函數空間、局部解析函數空間等。可以考慮將係數推廣到更一般的表示，例如： 局部代數表示: 可以考慮將係數推廣到局部代數表示，這與 p-adic Langlands program 有著密切的聯繫。 Banach 空間上的表示: 可以考慮將係數推廣到 Banach 空間上的表示，這與 p-adic Hodge 理論有著密切的聯繫。 上同調群的計算: 對於更一般的群和係數，計算上同調群會變得更加困難。可能需要發展新的工具和方法，例如： BGG resolution: BGG resolution 是一種計算上同調群的有效工具，可以嘗試將其推廣到更一般的設定。 几何方法: 可以嘗試使用几何方法來研究上同調群，例如利用群作用在適當空間上的商空間。 總之，將本文結果推廣到更一般的線性代數群需要克服許多技術上的困難，但也可能帶來更深刻的算術結果。

Q: 本文研究的上同調群與 Galois 表示之間有什麼聯繫？

本文雖然著重在自守表示的方面，但其研究的上同調群與 Galois 表示之間有著深刻的聯繫，這也是 p-adic Langlands program 的核心目標之一。以下列出一些已知的聯繫以及未來的研究方向： Emerton 的工作: 對於 GL2，Emerton 的工作證明了其上同調群的某些部分可以實現與某些 2 維 p-adic Galois 表示的對應。這為更一般的 p-adic Langlands 對應提供了重要的證據和啟示。 擬特徵標: Calegari 和 Emerton 推測，對於更一般的線性代數群，其上同調群的自同構代數的中心應該參數化了某些 p-adic Galois 表示的擬特徵標。這個猜想如果被證明，將會是 p-adic Langlands program 的一個重大突破。 Hecke 代數: 上同調群帶有自然的 Hecke 代數的作用，而 Galois 表示也帶有 Galois 群的作用。可以通過比較這兩種作用來建立上同調群與 Galois 表示之間的聯繫。 總之，本文研究的上同調群是 p-adic Langlands program 中的重要對象，它們與 Galois 表示之間有著深刻的聯繫。未來的研究方向包括將 Emerton 的結果推廣到更一般的群，證明 Calegari-Emerton 猜想，以及更深入地理解 Hecke 代數的作用。

Q: 阿貝爾函數空間的哪些性質對於理解線性代數群的上同調至關重要？

阿貝爾函數空間的某些性質對於理解線性代數群的上同調至關重要，因為它們提供了一個自然的框架來研究群表示和上同調。以下列出一些重要的性質： 平移不變性: 阿貝爾群的平移作用可以自然地延拓到函數空間上，這使得我們可以定義群在上同調群上的作用。 傅立葉分析: 對於局部緊緻的阿貝爾群，我們可以使用傅立葉分析來研究其上的函數空間，例如將函數分解為特徵標。這對於理解上同調群的結構非常有用。 Pontryagin 對偶性: Pontryagin 對偶性將局部緊緻阿貝爾群與其特徵標群聯繫起來，這在研究上同調群時提供了重要的工具。 Haar 測度: 局部緊緻阿貝爾群上存在唯一的 Haar 測度，這使得我們可以定義積分並研究函數空間上的拓撲性質。 具體來說，在本文的研究中，以下一些性質起到了關鍵作用： 連續函數空間: 連續函數空間是研究上同調群的自然起點，因為它們包含了豐富的信息。 局部解析函數空間: 局部解析函數空間可以用來研究上同調群的局部性質，例如其與局部 Galois 表示的聯繫。 誘導表示: 誘導表示是構造群表示的重要方法，而阿貝爾函數空間的性質使得我們可以更方便地研究誘導表示。 總之，阿貝爾函數空間的平移不變性、傅立葉分析、Pontryagin 對偶性、Haar 測度等性質，為理解線性代數群的上同調提供了重要的工具和框架。

核心概念

本文探討線性代數群的有理點群在阿貝爾函數空間上的上同調，並探討其與 Emerton 完備上同調的關係。

摘要

論文資訊

標題：阿貝爾練習題
作者：Pierre Colmez

研究目標

本文旨在探討線性代數群的有理點群在阿貝爾函數空間上的上同調，並探討其與 Emerton 完備上同調的關係。

方法

本文採用數論和代數幾何的方法，特別是阿貝爾函數和上同調理論，來研究線性代數群的上同調。

主要發現

對於 GL2，本文證明了其上同調群在不同函數空間（如連續函數空間、局部光滑函數空間等）的計算結果。
本文探討了 GL2 的上同調群與其緊支撐上同調群之間的關係，並給出了具體的描述。
本文還討論了這些結果對一般線性代數群的推廣，並提出了一些猜想。

主要結論

本文的研究結果揭示了線性代數群的上同調與其阿貝爾函數空間之間的密切聯繫，為進一步研究 Langlands 綱領提供了新的思路。

意義

本文的研究結果對於理解 Langlands 綱領具有重要意義，特別是對於研究自守表示和 Galois 表示之間的聯繫具有啟發作用。

局限性和未來研究方向

本文主要關注 GL2 的情況，對於更一般的線性代數群，還需要進一步的研究。
本文沒有探討與 Galois 表示的聯繫，這是一個重要的未來研究方向。

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Exercices ad\'eliques

by Pierre Colme... 於 arxiv.org 11-18-2024

https://arxiv.org/pdf/2402.16231.pdf

$Exercices ad\'eliques$

深入探究

如何將本文的結果推廣到更一般的線性代數群？

將本文結果推廣到更一般的線性代數群是一個極具挑戰性但也充滿前景的研究方向。以下列出一些可能的推廣方向以及可能遇到的挑戰：

更一般的群結構: 本文主要關注  GL2，這是一個相對簡單的線性代數群。對於更一般的線性代數群，例如  GLn (n>2) 或其他經典群 (如  Sp2n, SO(n))，其結構更加複雜，例如：

單根分解:  更一般的群的單根分解會更加複雜，這會影響到誘導表示的計算以及上同調群的結構。
Bruhat 分解:  Bruhat 分解是理解群作用的重要工具，但對於更一般的群，其分解會更加複雜，這會影響到上同調群的計算。

更一般的係數: 本文主要考慮的是一些特定的函數空間，例如連續函數空間、局部解析函數空間等。可以考慮將係數推廣到更一般的表示，例如：

局部代數表示:  可以考慮將係數推廣到局部代數表示，這與 p-adic Langlands program 有著密切的聯繫。
Banach 空間上的表示:  可以考慮將係數推廣到 Banach 空間上的表示，這與 p-adic Hodge 理論有著密切的聯繫。

上同調群的計算:  對於更一般的群和係數，計算上同調群會變得更加困難。可能需要發展新的工具和方法，例如：

BGG resolution:  BGG resolution 是一種計算上同調群的有效工具，可以嘗試將其推廣到更一般的設定。
几何方法:  可以嘗試使用几何方法來研究上同調群，例如利用群作用在適當空間上的商空間。
總之，將本文結果推廣到更一般的線性代數群需要克服許多技術上的困難，但也可能帶來更深刻的算術結果。

本文研究的上同調群與 Galois 表示之間有什麼聯繫？

本文雖然著重在自守表示的方面，但其研究的上同調群與 Galois 表示之間有著深刻的聯繫，這也是 p-adic Langlands program 的核心目標之一。以下列出一些已知的聯繫以及未來的研究方向：

Emerton 的工作:  對於  GL2，Emerton 的工作證明了其上同調群的某些部分可以實現與某些  2 維 p-adic Galois 表示的對應。這為更一般的  p-adic Langlands 對應提供了重要的證據和啟示。
擬特徵標:  Calegari 和 Emerton 推測，對於更一般的線性代數群，其上同調群的自同構代數的中心應該參數化了某些  p-adic Galois 表示的擬特徵標。這個猜想如果被證明，將會是  p-adic Langlands program 的一個重大突破。
Hecke 代數:  上同調群帶有自然的 Hecke 代數的作用，而  Galois 表示也帶有  Galois 群的作用。可以通過比較這兩種作用來建立上同調群與  Galois 表示之間的聯繫。
總之，本文研究的上同調群是  p-adic Langlands program 中的重要對象，它們與  Galois 表示之間有著深刻的聯繫。未來的研究方向包括將  Emerton 的結果推廣到更一般的群，證明  Calegari-Emerton 猜想，以及更深入地理解  Hecke 代數的作用。

阿貝爾函數空間的哪些性質對於理解線性代數群的上同調至關重要？

阿貝爾函數空間的某些性質對於理解線性代數群的上同調至關重要，因為它們提供了一個自然的框架來研究群表示和上同調。以下列出一些重要的性質：

平移不變性:  阿貝爾群的平移作用可以自然地延拓到函數空間上，這使得我們可以定義群在上同調群上的作用。
傅立葉分析:  對於局部緊緻的阿貝爾群，我們可以使用傅立葉分析來研究其上的函數空間，例如將函數分解為特徵標。這對於理解上同調群的結構非常有用。
Pontryagin 對偶性:  Pontryagin 對偶性將局部緊緻阿貝爾群與其特徵標群聯繫起來，這在研究上同調群時提供了重要的工具。
Haar 測度:  局部緊緻阿貝爾群上存在唯一的 Haar 測度，這使得我們可以定義積分並研究函數空間上的拓撲性質。
具體來說，在本文的研究中，以下一些性質起到了關鍵作用：

連續函數空間:  連續函數空間是研究上同調群的自然起點，因為它們包含了豐富的信息。
局部解析函數空間:  局部解析函數空間可以用來研究上同調群的局部性質，例如其與局部  Galois 表示的聯繫。
誘導表示:  誘導表示是構造群表示的重要方法，而阿貝爾函數空間的性質使得我們可以更方便地研究誘導表示。
總之，阿貝爾函數空間的平移不變性、傅立葉分析、Pontryagin 對偶性、Haar 測度等性質，為理解線性代數群的上同調提供了重要的工具和框架。